С идеальным газом происходит циклический процесс. Наинизшая температура, достигаемая газом в этом процессе, составляет \(300\,\text{K}.\) Определите количество вещества этого газа. Ответ укажите в молях с точностью до двух знаков после запятой.

\(1.\) Используем уравнение состояния идеального газа: \(pV = \nu RT\) \(2.\) Минимальная температура соответствует минимальному значению \(pV.\) Из условия: точка с параметрами \(p = 100\,\text{кПа} = 10^5\,\text{Па}\) и \(V = 3\,\text{л} = 3 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3.\) \(3.\) Выражаем количество вещества: \(\nu = \frac{pV}{RT}\) \(4.\) Подставляем значения: \(\nu = \frac{10^5 \cdot 3 \cdot 10^{-3}}{8.31 \cdot 300} \nu \approx 0.12\,\text{моль}\) Ответ: количество вещества газа составляет \(0.12\,\text{моль}.\)

В большом теплоизолированном цилиндре с жесткими стенками, разделенном тонкой недеформируемой перегородкой на две части с объемами \(V_1 = 1\ 000\,\text{л}\) и \(V_2 = 2\ 000\,\text{л},\) находится идеальный одноатомный газ. Давления в этих частях равны \(p_1 = 2\,\text{атм}\) и \(p_2 = 1\,\text{атм}\) соответственно. Какое давление \(p\) установится в цилиндре, если убрать перегородку?

Внутренняя энергия системы до удаления перегородки. Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия в каждой части цилиндра равна: \(U_1 = \frac{3}{2}p_1V_1, \quad U_2 = \frac{3}{2}p_2V_2\)Суммарная внутренняя энергия системы: \(U = U_1 + U_2 = \frac{3}{2}(p_1V_1 + p_2V_2)\) Условия задачи. Сосуд теплоизолирован \(( Q = 0 )\) и имеет жесткие стенки \(( A = 0 ),\) поэтому по первому началу термодинамики: \(\Delta U = Q- A = 0\)Таким образом, внутренняя энергия системы сохраняется: \(U = \text{const}\) Внутренняя энергия после удаления перегородки. После удаления перегородки газ занимает весь объем \(V = V_1 + V_2,\) и его внутренняя энергия выражается как: \(U = \frac{3}{2}pV = \frac{3}{2}p(V_1 + V_2)\) Приравнивание энергий и нахождение давления. Приравниваем выражения для внутренней энергии до и после удаления перегородки: \(\frac{3}{2}(p_1V_1 + p_2V_2) = \frac{3}{2}p(V_1 + V_2)\)Сокращаем общие множители и находим давление \(p\): \(p = \frac{p_1V_1 + p_2V_2}{V_1 + V_2}\) Подстановка числовых значений. Переведем объемы в кубические метры \(( 1\,\text{л} = 10^{-3}\,\text{м}^3 )\) и давления в паскали \(( 1\,\text{атм} = 10^5\,\text{Па} )\): \(V_1 = 1\,\text{м}^3, \quad V_2 = 2\,\text{м}^3, \quad p_1 = 2 \cdot 10^5\,\text{Па}, \quad p_2 = 1 \cdot 10^5\,\text{Па}\)Подставляем значения: \(p = \frac{2 \cdot 10^5 \cdot 1 + 1 \cdot 10^5 \cdot 2}{1 + 2} = \frac{4 \cdot 10^5}{3} \approx 1.33 \cdot 10^5\,\text{Па}\)Переводим результат обратно в атмосферы: \(p \approx 1.33\,\text{атм}\) Ответ: давление после удаления перегородки составит: \(p = \frac{4}{3} \cdot 10^5\,\text{Па} \approx 1.33\,\text{атм}\)

В вертикальном однородном магнитном поле на горизонтальной поверхности находится проводник массой \(m = 60 \space \text{г} = 0.06 \space \text{кг}\) и длиной \(l = 60 \space \text{см} = 0.6 \space \text{м}.\) Через данный проводник пропускают ток \(I = 10 \space \text{А}.\) При этом проводник начинает скользить равномерно вдоль поверхности, причем коэффициент трения между проводником и поверхностью равен \(\mu = 0.3.\) Чему равна индукция магнитного поля?

\(1.\) На проводник действуют четыре силы: сила тяжести \(mg\), сила реакции опоры \(N\), сила трения \(F_{тр}\) и сила Ампера \(F_A = BIl\) \((\)так как \(\sin 90^\circ = 1).\) \(2.\) По первому закону Ньютона (равномерное движение) равнодействующая всех сил равна нулю. В проекции на вертикальную ось: \(N = mg\) В проекции на горизонтальную ось: \(F_A = F_{тр}\) где сила трения \(F_{тр} = \mu N = \mu mg.\) \(4.\) Подставляем выражение для силы Ампера: \(BIl = \mu mg\) \(5.\) Выражаем индукцию магнитного поля: \(B = \frac{\mu mg}{Il}\) \(6.\) Подставляем числовые значения: \(\mu = 0.3,\) \(m = 0.06 \space \text{кг},\) \(g = 10 \space \text{м/с}^2,\) \(I = 10 \space \text{А},\) \(l = 0.6 \space \text{м}{:}\) \(B = \frac{0.3 \cdot 0.06 \cdot 10}{10 \cdot 0.6} = \frac{0.18}{6} = 0.03 \space \text{Тл}\) Ответ: индукция магнитного поля равна \(0.03 \space \text{Тл}.\)

Система из двух грузов массой \(m = 0.25 \, \text{кг}\) каждый, соединенных пружиной жесткости \(k = 20 \, \text{Н/м},\) движется под действием груза \(M = 2 \, \text{кг}\) по наклонной плоскости с углом наклона \(\alpha = 30^\circ.\) Длина пружины \(L\) остается неизменной во время движения. В нерастянутом состоянии длина пружины равна \(l = 15 \, \text{см}.\) Найдите длину пружины \(L\) в процессе движения. Трением пренебречь. Нить считать невесомой и нерастяжимой, а блок — идеальным. Какие законы используются для описания движения грузов? Обоснуйте их применимость к данному случаю.

Обоснование: Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной. Грузы движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки. Нить невесома, а блок идеальный (без трения), поэтому сила натяжения нити одинакова по обе стороны блока: \(T_1 = T_2 = T.\) Нить нерастяжима, поэтому ускорения всех грузов равны по модулю: \(a_1 = a_2 = a.\) Пружина легкая, поэтому силы упругости, действующие на оба груза, равны: \(F_{\text{упр1}} = F_{\text{упр2}} = F_{\text{упр}}.\) Трением пренебрегаем, так как плоскость гладкая. В инерциальной системе отсчета движение описывается вторым законом Ньютона. Силы, действующие на тела. Груз \(M\): — Сила тяжести: \(M\vec{g}\) (вниз). — Сила натяжения нити: \(\vec{T}\) (вверх). Нижний груз \(m\): — Сила тяжести: \(m\vec{g}\) (вертикально вниз). — Сила упругости пружины: \(\vec{F}_{\text{упр}}\) (вверх вдоль плоскости). — Сила реакции опоры: \(\vec{N}_1\) (перпендикулярно плоскости). Верхний груз \(m\): — Сила тяжести: \(m\vec{g}\) (вертикально вниз). — Сила упругости пружины: \(\vec{F}_{\text{упр}}\) (вниз вдоль плоскости). — Сила натяжения нити: \(\vec{T}\) (вверх вдоль плоскости). — Сила реакции опоры: \(\vec{N}_2\) (перпендикулярно плоскости). Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось вдоль наклонной плоскости (\(Ox\)) и перпендикулярно ей (\(Oy\)). Для груза \(M\): \(Ma = Mg- T \quad (1)\)Для нижнего груза \(m\): \(ma = F_{\text{упр}}- mg \sin \alpha \quad (2)\)Для верхнего груза \(m\):\(ma = T- F_{\text{упр}}- mg \sin \alpha \quad (3)\) Сложим уравнения \((2)\) и \((3)\): \(2ma = T- 2mg \sin \alpha \quad (4)\) Выразим \(T\) из уравнения \((1)\): \(T = Mg- Ma \quad (5)\) Подставим \((5)\) в \((4)\): \(2ma = Mg- Ma- 2mg \sin \alpha\)Перенесем все члены с \(a\) влево: \(2ma + Ma = Mg- 2mg \sin \alpha\) Выразим ускорение \(a\): \(a(2m + M) = g(M- 2m \sin \alpha)\)\(a = \frac{g(M- 2m \sin \alpha)}{2m + M} \quad (6)\) Из уравнения \((2)\) выразим силу упругости: \(F_{\text{упр}} = ma + mg \sin \alpha \quad (7)\) Подставим \((6)\) в \((7)\): \(F_{\text{упр}} = m \cdot \frac{g(M- 2m \sin \alpha)}{2m + M} + mg \sin \alpha\)Упростим выражение: \(F_{\text{упр}} = \frac{Mmg- 2m^2 g \sin \alpha}{2m + M} + mg \sin \alpha\) \(= \frac{Mmg + 2m^2 g \sin \alpha + Mmg \sin \alpha- 2m^2 g \sin \alpha}{2m + M}\) \(F_{\text{упр}} = \frac{Mmg (1 + \sin \alpha)}{2m + M} \quad (8)\) По закону Гука: \(F_{\text{упр}} = k(L- l) \quad (9)\) Приравняем \((8)\) и \((9)\) и выразим \(L\): \(k(L- l) = \frac{Mmg (1 + \sin \alpha)}{2m + M}\) \(L = \frac{Mmg (1 + \sin \alpha)}{k(2m + M)} + l\) Подставим числовые значения: \(L = \frac{2 \cdot 0.25 \cdot 10 \cdot (1 + 0.5)}{20 \cdot (2 \cdot 0.25 + 2)} + 0.15\) \(= \frac{7.5}{50} + 0.15 = 0.15 + 0.15 = 0.3 \, \text{м} = 30 \, \text{см}\) Ответ: длина пружины во время движения \(L = 30 \, \text{см}.\)

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени. Найдите путь, пройденный телом за время от момента времени \(0\spaceс\) до момента времени \(5\spaceс.\) (Ответ дайте в метрах)

\(1.\) Разбиваем движение на участки: \(0-2\spaceс{:}\) равноускоренное движение; \(2-3\spaceс{:}\) равномерное движение; \(3-5\spaceс{:}\) покой. \(2.\) Вычисляем путь на каждом участке: \(2.1.\) \(0-2\spaceс\) (треугольник): \(S_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2 = 10 \text{ м}\) \(2.2.\) \(2-3\spaceс\) (прямоугольник): \(S_2 = 10 \cdot 1 = 10 \text{ м}\) \(2.3.\) \(3-5\spaceс\) (отсутствие движения): \(S_3 = 0 \cdot 2 = 0 \text{ м}\) \(3.\) Суммарный путь: \(S = S_1 + S_2 + S_3 = 10 + 10 + 0 = 20 \text{ м}\)