Дом стоит на краю поля. С балкона, расположенного на высоте \(5\,\text{м},\) мальчик бросил камешек в горизонтальном направлении. Начальная скорость камешка составляет \(7\,\frac{\text{м}}{\text{с}},\) а его масса равна \(0.1\,\text{кг}.\) Какова кинетическая энергия камешка через \(2\,\text{с}\) после броска? Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}.\)

Горизонтальное движение: равномерное, так как ускорение отсутствует. Скорость остается постоянной: \(v_x = v_0 = 7\,\frac{\text{м}}{\text{с}}\) Вертикальное движение: равноускоренное с начальной скоростью \(v_{0y} = 0\) и ускорением \(g_y = -g = -10\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\) Вычислим время, за которое камешек достигнет земли, используя формулу для вертикального перемещения: \(h = \frac{gt^2}{2}\) Подставляем известные значения: \(5 = \frac{10 \cdot t^2}{2} \implies t^2 = 1 \implies t = 1\,\text{с}\) Камешек упадет на землю через \(1\,\text{с}\) после броска. Через \(1\,\text{с}\) камешек уже упадет на землю и остановится (по условию задачи он застревает в мягкой земле). Следовательно, через \(2\,\text{с}\) его скорость \(v = 0,\) а кинетическая энергия: \(E_k = \frac{mv^2}{2} = 0\,\text{Дж}\) Ответ: через \(2\,\text{с}\) после броска кинетическая энергия камешка равна \(0\,\text{Дж}.\)

С идеальным газом в количестве \(0.24\,\text{моль}\) происходит циклический процесс. Определите наименьшее давление газа в этом процессе. Ответ укажите в килопаскалях, округлите до целых.

\(1.\) Используем уравнение состояния идеального газа: \(pV = \nu RT\) \(2.\) Наименьшее давление соответствует минимальному отношению \(T/V.\) Из условия: точка с параметрами \(T = 300\,\text{K}\) и \(V = 100\,\text{л} = 0.1\,\text{м}^3.\) \(3.\) Выражаем давление:\(p = \frac{\nu RT}{V}\) \(4.\) Подставляем значения: \(p = \frac{0.24 \cdot 8.31 \cdot 300}{0.1}\) \(5.\) Вычисляем в паскалях:\(p \approx 5\space976\,\text{Па}\) \(6.\) Переводим в килопаскали и округляем: \(p \approx 6\,\text{кПа}\) Ответ: наименьшее давление газа составляет \(6\,\text{кПа}.\)

Два теплоизолированных сосуда объемом \(1 \, \text{м}^3\) соединены трубкой с закрытым краном. В первом сосуде содержится \(1 \, \text{моль}\) гелия при температуре \(450 \, \text{К},\) во втором — \(3 \, \text{моль}\) неона при температуре \(300 \, \text{К}.\) Какое давление установится в сосудах после открытия крана?

Закон сохранения энергии. Так как сосуды теплоизолированы, внутренняя энергия системы сохраняется: \(U_1 + U_2 = U\) где: \(U_1 = \frac{3}{2} \nu_1 R T_1\) — внутренняя энергия гелия, \(U_2 = \frac{3}{2} \nu_2 R T_2\) — внутренняя энергия неона, \(U = \frac{3}{2} (\nu_1 + \nu_2) R T\) — внутренняя энергия смеси газов после установления равновесия. Подставляем выражения: \(\frac{3}{2} \nu_1 R T_1 + \frac{3}{2} \nu_2 R T_2 = \frac{3}{2} (\nu_1 + \nu_2) R T\) Упрощаем и находим установившуюся температуру \(T\): \(T = \frac{\nu_1 T_1 + \nu_2 T_2}{\nu_1 + \nu_2} = \frac{1 \cdot 450 + 3 \cdot 300}{1 + 3} = \frac{450 + 900}{4} = 337.5 \, \text{К}\) Давление смеси газов. По закону Дальтона, общее давление \(p\) равно сумме парциальных давлений гелия \(p_1\) и неона \(p_2\): \(p = p_1 + p_2\) Используем уравнение Клапейрона-Менделеева для каждого газа, учитывая, что после открытия крана газы занимают общий объем \(2V\): \(p_1 \cdot 2V = \nu_1 R T\) \(p_2 \cdot 2V = \nu_2 R T\) Выражаем парциальные давления: \(p_1 = \frac{\nu_1 R T}{2V}, \quad p_2 = \frac{\nu_2 R T}{2V}\) Тогда общее давление: \(p = \frac{(\nu_1 + \nu_2) R T}{2V}\) Подставляем значения: \(p = \frac{(1 + 3) \cdot 8.31 \cdot 337.5}{2 \cdot 1} = \frac{4 \cdot 8.31 \cdot 337.5}{2} = 2 \cdot 8.31 \cdot 337.5 = 5609.25 \, \text{Па}\) Ответ: \(5609.25 \, \text{Па}.\)

Квадратная рамка со стороной \(l = 10 \space \text{см} = 0.1 \space \text{м}\) подключена к источнику постоянного тока серединами своих сторон. На участке \(AC\) течет ток \(I = 2 \space \text{A}.\) Сопротивление всех сторон рамки одинаково. В однородном магнитном поле, вектор индукции которого направлен перпендикулярно плоскости рамки, результирующая сила Ампера, действующая на рамку, \(F = 80 \space \text{мН} = 0.08 \space \text{Н}.\) Определите модуль вектора индукции магнитного поля \(B.\)

\(1.\) Сопротивления верхней и нижней частей рамки равны, поэтому ток в них одинаков и равен половине тока на участке \(AC\): \(I_1 = I_2 = \dfrac{I}{2} = 1 \space \text{A}.\) \(2.\) Силы Ампера, действующие на боковые части рамки, компенсируются, так как токи в них равны по величине и противоположны по направлению. \(3.\) На верхнюю часть рамки действует сила Ампера: \(F_{A_1} = B I_1 l = B \cdot \frac{I}{2} \cdot l\) \(4.\) На нижнюю часть рамки действует сила Ампера: \(F_{A_2} = B I_2 l = B \cdot \frac{I}{2} \cdot l\) \(5.\) Равнодействующая всех сил Ампера равна сумме этих двух сил: \(F = F_{A_1} + F_{A_2} = B \cdot \dfrac{I}{2} \cdot l + B \cdot \dfrac{I}{2} \cdot l = B I l\) \(6.\) Выражаем индукцию магнитного поля: \(B = \dfrac{F}{I l}\) \(7.\) Подставляем числовые значения: \(F = 0.08 \space \text{Н},\) \(I = 2 \space \text{А},\) \(l = 0.1 \space \text{м}{:}\) \(B = \frac{0.08}{2 \cdot 0.1} = \frac{0.08}{0.2} = 0.4 \space \text{Тл}\) Ответ: модуль вектора индукции магнитного поля равен \(0.4 \space \text{Тл}.\)

На горизонтальном столе лежит брусок массой \(M = 1 \, \text{кг},\) к нему через легкий неподвижный блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к которой привязан груз массой \(m = 0.5 \, \text{кг}.\) Груз начинают тянуть с силой \(F = 9 \, \text{Н}\) под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту (см. рис.). Определите скорость груза в момент достижения им высоты поверхности стола, если первоначально груз находился на расстоянии \(32 \, \text{см}\) от поверхности стола. Коэффициент трения равен \(0.3.\) Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.

Обоснование. Рассмотрим движение бруска и груза относительно Земли, которая является инерциальной системой отсчета. На брусок действуют силы: приложенная сила \(\vec{F},\) сила тяжести \(M\vec{g},\) сила трения \(\vec{F}_{тр},\) сила реакции опоры \(\vec{N}\) и сила натяжения нити \(\vec{T}.\) На груз действуют сила тяжести \(m\vec{g}\) и сила натяжения нити \(\vec{T}.\) Поскольку нить невесома и нерастяжима, ускорения бруска и груза равны по модулю: \(a_1 = a_2 = a.\) В инерциальной системе отсчета применяем второй закон Ньютона. Решение. Запишем второй закон Ньютона для бруска и груза в проекциях на оси координат. Для бруска \(( M )\): \(Ox: Ma = F \cos \alpha- T- F_{тр}\) \(Oy: 0 = N- Mg + F \sin \alpha\) Для груза \((m)\): \(ma = T- mg\) Сила трения скольжения: \(F_{тр} = \mu N\) Из уравнения для оси \(Oy\) бруска найдем \(N\): \(N = Mg- F \sin \alpha\) Подставим \(N\) в выражение для силы трения: \(F_{тр} = \mu (Mg- F \sin \alpha)\) Из уравнения для груза выразим \(T\): \(T = ma + mg\) Подставим \(T\) и \(F_{тр}\) в уравнение для оси \(Ox\) бруска: \(Ma = F \cos \alpha- (ma + mg) — \mu (Mg- F \sin \alpha)\) Соберем все слагаемые с \(a\) в левой части: \(Ma + ma = F \cos \alpha- mg- \mu Mg + \mu F \sin \alpha\) Выразим ускорение \(a\): \(a = \frac{F \cos \alpha- mg- \mu (Mg- F \sin \alpha)}{M + m}\) Подставим численные значения: \(a = \frac{9 \cdot 0.866- 0.5 \cdot 10- 0.3 (1 \cdot 10- 9 \cdot 0.5)}{1 + 0.5}\) \(= \frac{7.794- 5- 0.3 (10- 4.5)}{1.5} = \frac{2.794- 1.65}{1.5} \approx 0.763 \, \text{м/с}^2\) Найдем скорость груза при равноускоренном движении из состояния покоя: \(v = \sqrt{2as} = \sqrt{2 \cdot 0.763 \cdot 0.32} \approx \sqrt{0.488} \approx 0.7 \, \text{м/с}\) Ответ: \(0.7 \, \text{м/с}.\)