На рисунке представлен график процессов, происходящих с идеальным газом постоянной массы в координатах $(n, p),$ где $n$ — концентрация молекул газа, $p$ — его давление. Постройте график этих процессов в координатах $(p, V),$ где $V$ — объем газа. Подробно опишите используемые при построении физические закономерности.

Анализ участка $1-2.$ График в координатах $(n,p)$ представляет собой прямую, проходящую через начало координат: $p ~ n.$ Из уравнения состояния идеального газа: $p = nkT$Поскольку $p$ пропорционально $n$ при постоянном коэффициенте, температура $T$ остается постоянной (изотермический процесс). Концентрация определяется как: $n = \frac{N}{V}$При постоянном числе молекул $N$ (по условию масса газа неизменна) увеличение концентрации означает уменьшение объема. Таким образом, процесс $1-2$ в координатах $(p,V)$ будет описываться уравнением изотермы: $pV = const$График — гипербола, где при уменьшении $V$ давление $p$ увеличивается. Анализ участка $2-3.$ Концентрация $n$ остается постоянной $(n = const).$ Из формулы $n = \frac{N}{V}$ при $N = const$ следует $V = const$ (изохорный процесс). Давление $p$ увеличивается. Из уравнения состояния $p = nkT$ при $n = const$ увеличение $p$ означает увеличение $T.$ В координатах $(p,V)$ это будет вертикальная линия (объем не изменяется, давление растет).

Горизонтально расположенная невесомая пружина с жесткостью $k = 1000\,\frac{\text{Н}}{\text{м}}$ находится в недеформированном состоянии. Один ее конец закреплен, а другой касается бруска массой $M = 0.1\,\text{кг},$ лежащего на горизонтальной поверхности. Брусок сдвигают, сжимая пружину, и отпускают. На какую длину $\Delta x$ была сжата пружина, если после отпускания бруска его скорость достигла $v = 1\,\frac{\text{м}}{\text{с}}?$ Трением пренебречь.

Поскольку трение отсутствует, полная механическая энергия системы сохраняется. В начальном состоянии (пружина сжата) энергия системы состоит только из потенциальной энергии пружины: $E_{\text{пот}} = \frac{k (\Delta x)^2}{2}$ В конечном состоянии (пружина распрямлена) энергия системы переходит в кинетическую энергию бруска: $E_{\text{кин}} = \frac{M v^2}{2}$ Приравниваем энергии: $\frac{k (\Delta x)^2}{2} = \frac{M v^2}{2}$ Выражаем $\Delta x$: $\Delta x = v \sqrt{\frac{M}{k}}$ Подставляем числовые значения: $\Delta x = 1 \cdot \sqrt{\frac{0.1}{1000}} = \sqrt{10^{-4}} = 0.01\,\text{м}$ Ответ: пружина была сжата на $\Delta x = 0.01\,\text{м}.$

С идеальным газом происходит циклический процесс, $pT$-диаграмма которого представлена на рисунке. Наименьший объем, который занимает газ в этом процессе, составляет $6\space л.$ Определите количество вещества этого газа. Ответ укажите в молях с точностью до сотых.

$1.$ Записываем уравнение состояния идеального газа: $pV = \nu RT$ $2.$ Выражаем количество вещества: $\nu = \frac{pV}{RT}$ $3.$ Определяем параметры в точке с минимальным объемом: Давление $p = 200\,\text{кПа} = 2 \cdot 10^5\,\text{Па}.$ Объем $V = 6\,\text{л} = 6 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3.$ Температура $T = 300\,\text{К}.$ $4.$ Подставляем значения в формулу: $\nu = \frac{(2 \cdot 10^5\,\text{Па}) \cdot (6 \cdot 10^{-3}\,\text{м}^3)}{(8.31\,\text{Дж/(моль$\cdot$К)}) \cdot (300\,\text{К})}$ $5.$ Вычисляем числитель: $2 \cdot 10^5 \cdot 6 \cdot 10^{-3} = 1.2 \cdot 10^3$ $6.$ Вычисляем знаменатель: $8.31 \cdot 300 = 2.493 \cdot 10^3$ $7.$ Находим количество вещества: $\nu = \frac{1.2 \cdot 10^3}{2.493 \cdot 10^3} \approx 0.4813$ $8.$ Округляем до сотых: $\nu \approx 0.48$ Ответ: количество вещества газа составляет $0.48\,\text{моль}.$

Сосуд разделен тонкой перегородкой на две части. В первой части сосуда находится воздух с относительной влажностью $q_1 = 60\%,$ во второй части — воздух с относительной влажностью $q_2 = 70\%.$ После удаления перегородки в сосуде установилась относительная влажность воздуха $q = 65\%.$ Найдите отношение объемов частей сосуда $\frac{V_1}{V_2}.$ Температура воздуха в обеих частях сосуда одинакова и не изменилась после снятия перегородки.

Давление насыщенного пара. Поскольку температура постоянна, давление насыщенного пара $p_{\text{н}}$ остается неизменным. Парциальное давление водяного пара: Из формулы относительной влажности $q = \frac{p}{p_{\text{н}}}$ выражаем парциальное давление: $p = q \cdot p_{\text{н}}$ Для каждой части сосуда: $p_1 = q_1 \cdot p_{\text{н}} = 0.6 \cdot p_{\text{н}}$ $p_2 = q_2 \cdot p_{\text{н}} = 0.7 \cdot p_{\text{н}}$ Количество вещества пара. Используем уравнение Клапейрона-Менделеева $pV = \nu RT$ для нахождения количества вещества пара в каждой части сосуда: $\nu_1 = \frac{p_1 V_1}{RT} = \frac{0.6 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_1}{RT}$ $\nu_2 = \frac{p_2 V_2}{RT} = \frac{0.7 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_2}{RT}$ После удаления перегородки общее количество вещества пара: $\nu = \nu_1 + \nu_2 = \frac{0.6 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_1 + 0.7 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_2}{RT}$ Установившаяся влажность. После смешивания парциальное давление пара становится: $p = q \cdot p_{\text{н}} = 0.65 \cdot p_{\text{н}}$ Объем сосуда после удаления перегородки: $V = V_1 + V_2$ Количество вещества пара в смеси: $\nu = \frac{p V}{RT} = \frac{0.65 \cdot p_{\text{н}} \cdot (V_1 + V_2)}{RT}$ Уравнение сохранения количества вещества. Приравниваем выражения для $\nu$: $\frac{0.6 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_1 + 0.7 \cdot p_{\text{н}} \cdot V_2}{RT} = \frac{0.65 \cdot p_{\text{н}} \cdot (V_1 + V_2)}{RT}$ Упрощаем: $0.6 V_1 + 0.7 V_2 = 0.65 (V_1 + V_2)$ Раскрываем скобки и приводим подобные: $0.6 V_1 + 0.7 V_2 = 0.65 V_1 + 0.65 V_2$ $0.7 V_2- 0.65 V_2 = 0.65 V_1- 0.6 V_1$ $0.05 V_2 = 0.05 V_1$ Отсюда получаем: $\frac{V_1}{V_2} = 1$ Ответ: $\frac{V_1}{V_2} = 1.$

Замкнутый алюминиевый контур $NMLK$ площадью поперечного сечения $S = 0.2 \space \text{мм}^2 = 2 \cdot 10^{-7} \space \text{м}^2$ находится в магнитном поле индукцией $B = 0.35 \space \text{Тл},$ магнитные линии которого направлены параллельно $NK$ вверх. $ЭДС$ источника равно $\mathcal{E} = 1.4 \space \text{В}.$ Найти равнодействующую силу, действующую на контур со стороны магнитного поля, если $ML = l_1 = 0.4 \space \text{м},$ $KL = l_2 = 0.3 \space \text{м}$. Удельное сопротивление алюминия $\rho = 2.8 \cdot 10^{-8} \space \text{Ом} \cdot \text{м}.$

$1.$ Проводники $KNM,$ $KLM$ и $KM$ соединены параллельно. Сопротивления участков: $R_1 = \rho \cdot \dfrac{l_1 + l_2}{S}, \quad R_2 = \rho \cdot \dfrac{l}{S}, \quad \text{где} \quad l = \sqrt{l_1^2 + l_2^2} = \sqrt{0.4^2 + 0.3^2} = 0.5 \space \text{м}$ $2.$ Токи в проводниках: $I_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1} = \dfrac{\mathcal{E} S}{\rho (l_1 + l_2)}, \quad I_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_2} = \dfrac{\mathcal{E} S}{\rho l}$ $3.$ Силы Ампера на проводниках: На $KL$ и $NM$: $F_1 = B I_1 l_1 = B \cdot \dfrac{\mathcal{E} S}{\rho (l_1 + l_2)} \cdot l_1$ На $KM$: $F_2 = B I_2 l \sin \alpha = B \cdot \dfrac{\mathcal{E} S}{\rho l} \cdot l \cdot \dfrac{l_1}{l} = B \cdot \dfrac{\mathcal{E} S}{\rho} \cdot \dfrac{l_1}{l}$ $4.$ Равнодействующая сила: $F = 2F_1 + F_2 = \dfrac{B \mathcal{E} S l_1}{\rho} \left( \dfrac{2}{l_1 + l_2} + \dfrac{1}{l} \right)$ $5.$ Подставляем числовые значения: $F = \dfrac{0.35 \cdot 1.4 \cdot 2 \cdot 10^{-7} \cdot 0.4}{2.8 \cdot 10^{-8}} \left( \dfrac{2}{0.7} + \dfrac{1}{0.5} \right) = \dfrac{0.35 \cdot 1.4 \cdot 2 \cdot 10^{-7} \cdot 0.4}{2.8 \cdot 10^{-8}} \left( \dfrac{20}{7} + 2 \right)$ $F = \dfrac{3.92 \cdot 10^{-8}}{2.8 \cdot 10^{-8}} \cdot \left( \dfrac{20}{7} + \dfrac{14}{7} \right) = 1.4 \cdot \dfrac{34}{7} = 1.4 \cdot 4.857 = 6.8 \space \text{Н}$ Ответ: равнодействующая сила, действующая на контур, равна $6.8 \space \text{Н}.$