Каким образом зависит от температуры удельная теплота испарения жидкостей: она увеличивается, остается неизменной или уменьшается с ростом температуры? Ответ поясните на основании известных явлений и закономерностей, касающихся поведения жидкости и их паров в зависимости от температуры.

\(1)\) В конденсированном состоянии вещества (например, в жидкости) потенциальная энергия взаимодействия молекул (энергия притяжения) по модулю значительно превышает их среднюю кинетическую энергию, поэтому молекулы удерживаются в жидкости. \(2)\) С ростом температуры усиливается интенсивность теплового движения молекул. Средняя кинетическая энергия молекулы пропорциональна температуре: \(\langle\varepsilon\rangle=\dfrac{3}{2}kT\) где \(k\) — постоянная Больцмана, \(T\) — абсолютная температура. При увеличении \(T\) возрастает доля молекул, обладающих энергией, достаточной для преодоления сил притяжения в жидкости. \(3)\) Удельная теплота испарения (молярная теплота парообразования) \(L\) равна энергии, которую нужно подвести одной моле вещества, чтобы перевести ее из жидкого состояния в пар при данной температуре. В термодинамической форме это можно записать как \(L= u_{\text{пар}}-u_{\text{жид}}+p,(v_{\text{пар}}-v_{\text{жид}})\) где \(u\) — внутренняя энергия на моль, \(v\) — мольный объем. \(4)\) С повышением температуры средняя внутренняя энергия молекул растет, и часть энергии, необходимой для выхода молекулы из жидкости в пар, уже «подготовлена» тепловым движением. Иными словами, при более высокой \(T\) требуется меньшая дополнительная энергия, чтобы перевести молекулу в газовое состояние. Поэтому разность \(u_{\text{пар}}-u_{\text{жид}}\) с ростом температуры уменьшается, а вклад \(p(v_{\text{пар}}-v_{\text{жид}})\) не компенсирует этот эффект так, чтобы \(L\) рос. \(5)\) Качественно это также подтверждается законом Клапейрона — Клаузиуса: при увеличении температуры насыщенное давление быстро растет, а при приближении к критической температуре различие между жидкостью и паром исчезает и, следовательно, \(L\to 0.\) Таким образом удельная теплота испарения уменьшается с ростом температуры и при достижении критической температуры стремится к нулю. Ответ: удельная теплота испарения жидкостей уменьшается с ростом температуры.

Конная повозка движется прямолинейно равномерно со скоростью \(7{.}2\ \text{км/ч}.\) Когда она проезжает мимо человека, тот начинает с постоянным ускорением бежать за ней. Найдите скорость человека в тот момент, когда он догонит повозку.

Переведем скорость повозки в \(СИ{:}\) \(v_{\text{пов}}=7{.}2\ \text{км/ч}=7{.}2\cdot\dfrac{1\ 000}{3\ 600}\ \text{м/с}=2\ \text{м/с}.\) Пусть человек начинает движение с нулевой начальной скоростью и разгоняется с постоянным ускорением \(a.\) Через время \(t,\) когда он догонит повозку, его скорость равна \(v=a t,\) а пройденный им путь равен \(s=\tfrac{1}{2}a t^2\) За тот же промежуток времени повозка, двигаясь равномерно, пройдет путь \(s_{\text{пов}}=v_{\text{пов}} t\) При совпадении пройденных путей имеем равенство \(s=s_{\text{пов}}\) то есть \(\tfrac{1}{2} a t^2 = v_{\text{пов}} t,\) откуда после деления на \(t\neq 0\) получаем \(\tfrac{1}{2} a t = v_{\text{пов}}\) Умножив обе части на \(2,\) получаем выражение для скорости человека в момент догоняния: \(v=a t = 2 v_{\text{пов}}\) Подставляем найденную скорость повозки \(v_{\text{пов}}=2\ \text{м/с}\) и получаем \(v=2\cdot 2\ \text{м/с}=4\ \text{м/с}\) Ответ: \(4\ \text{м/с}\)

Линза с фокусным расстоянием \(F = 0.2 \space \text{м}\) дает на экране изображение предмета, увеличенное в \(8\) раз. Каково расстояние от предмета до линзы? Ответ приведите в сантиметрах.

\(1)\) Увеличение линзы определяется формулой: \(\Gamma = \dfrac{f}{d}\) где \(f\) — расстояние от линзы до изображения, \(d\) — расстояние от линзы до предмета. \(2)\) По условию увеличение равно \(8{:}\) \(\dfrac{f}{d} = 8 \Rightarrow f = 8d\) \(3)\) Используем формулу тонкой линзы: \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}\) \(4)\) Подставляем выражение для \(f{:}\) \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{8d} = \dfrac{8}{8d} + \dfrac{1}{8d} = \dfrac{9}{8d}\) \(5)\) Выражаем расстояние от предмета до линзы: \(d = \dfrac{9}{8}F = \dfrac{9}{8} \cdot 0.2 = 0.225 \space \text{м}\) \(6)\) Переводим в сантиметры: \(d = 0.225 \cdot 100 = 22.5 \space \text{см}\) Ответ: \(22.5 \space \text{см}\) расстояние от предмета до линзы.

Воздушный шар имеет газонепроницаемую оболочку массой \(M=400\ \text{кг}\) и содержит \(m_{\text{He}}=100\ \text{кг}\) гелия. Какой груз \(m\) он может удерживать в воздухе на высоте, где температура воздуха \(t=17\ ^\circ\text{C},\) а давление \(p=10^5\ \text{Па}?\) Считать, что оболочка шара не оказывает сопротивления изменению объема шара и что гелий и воздух имеют одну и ту же температуру и давление.

\(1)\) Условие равновесия шара с грузом: сила Архимеда, равная весу вытесненного воздуха, уравновешивает суммарный вес оболочки, гелия и груза. В проекции на вертикальную ось это дает \(\rho_{\text{возд}} g V=(M+m+m_{\text{He}})g\) откуда, сократив на \(g,\) \(\rho_{\text{возд}} V=M+m+m_{\text{He}}\) \(2)\) Масса вытесненного воздуха \(m_{\text{возд}}=\rho_{\text{возд}}V\) может быть связана с массой гелия через уравнение состояния идеального газа. Для одного и того же объема \(V,\) давления \(p\) и температуры \(T\) имеем \(\dfrac{m_{\text{возд}}}{\mu_{\text{возд}}}=\dfrac{pV}{R T}=\dfrac{m_{\text{He}}}{\mu_{\text{He}}}\) откуда \(m_{\text{возд}}=m_{\text{He}}\dfrac{\mu_{\text{возд}}}{\mu_{\text{He}}}\) \(3)\) Подставляя выражение для \(m_{\text{возд}}\) в условие равновесия, получаем \(m_{\text{He}}\dfrac{\mu_{\text{возд}}}{\mu_{\text{He}}}=M+m+m_{\text{He}}\) отсюда выражение для груза: \(m=m_{\text{He}}\Bigl(\dfrac{\mu_{\text{возд}}}{\mu_{\text{He}}}-1\Bigr)-M\) \(4)\) Подставим численные значения. Молярные массы (в кг/моль): \(\mu_{\text{He}}=4\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль},\) средняя молярная масса воздуха \(\mu_{\text{возд}}\approx 29\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}.\) Тогда \(\dfrac{\mu_{\text{возд}}}{\mu_{\text{He}}}=\dfrac{29}{4}=7{.}25\) и \(m=100\cdot (7{.}25-1)-400=100\cdot 6{.}25-400=625-400=225\ \text{кг}\) Ответ: шар может удерживать груз \(m\approx 225\ \text{кг}.\)

Электрическое поле образовано двумя неподвижными, вертикально расположенными, параллельными, разноименно заряженными не проводящими пластинами. Пластины расположены на расстоянии \(d\) друг от друга. Напряженность поля между пластинами \(E = 10^4 \space \text{В/м}.\) Между пластинами на равном расстоянии от них помещен шарик с зарядом \(q = 2 \space \text{мкКл}\) и массой \(m = 1 \space \text{г}.\) После того как шарик отпустили, он начинает падать. Скорость шарика при касании одной из пластин \(v = 4.4 \space \text{м/с}.\) Найдите расстояние между пластинами.

\(1)\) На шарик действуют две силы: сила со стороны электрического поля \(F = Eq\) (горизонтально) и сила тяжести \(mg\) (вертикально). \(2)\) Проекции ускорения шарика: \(a_x = \dfrac{Eq}{m}, \quad a_y = g\) \(3)\) Шарик проходит горизонтально расстояние \(\dfrac{d}{2}\) до пластины: \(\dfrac{d}{2} = \dfrac{a_x t^2}{2} \Rightarrow d = a_x t^2\) \(4)\) Выражаем время движения: \(t = \sqrt{\dfrac{d}{a_x}} = \sqrt{\dfrac{md}{Eq}}\) \(5)\) Проекции скорости в момент касания: \(v_x = a_x t = \dfrac{Eq}{m} \cdot \sqrt{\dfrac{md}{Eq}} = \sqrt{\dfrac{Eq d}{m}}\) \(v_y = g t = g \sqrt{\dfrac{md}{Eq}}\) \(6)\) Полная скорость шарика: \(v^2 = v_x^2 + v_y^2 = \dfrac{Eq d}{m} + \dfrac{g^2 m d}{Eq}\) \(7)\) Выражаем расстояние \(d\): \(v^2 = d \left( \dfrac{Eq}{m} + \dfrac{g^2 m}{Eq} \right)\) \(d = \dfrac{v^2}{\dfrac{Eq}{m} + \dfrac{g^2 m}{Eq}} = \dfrac{m v^2 Eq}{(Eq)^2 + (mg)^2}\) \(8)\) Подставляем числовые значения: — \(E = 10^4 \space \text{В/м}\) — \(q = 2 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл}\) — \(m = 10^{-3} \space \text{кг}\) — \(v = 4.4 \space \text{м/с}\) — \(g = 10 \space \text{м/с}^2\) \(9)\) Вычисляем: \(d = \dfrac{10^{-3} \cdot (4.4)^2 \cdot 10^4 \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{(10^4 \cdot 2 \cdot 10^{-6})^2 + (10^{-3} \cdot 10)^2}\) \(d = \dfrac{10^{-3} \cdot 19.36 \cdot 2 \cdot 10^{-2}}{(2 \cdot 10^{-2})^2 + (10^{-2})^2} = \dfrac{3.872 \cdot 10^{-4}}{4 \cdot 10^{-4} + 1 \cdot 10^{-4}}\) \(d = \dfrac{3.872 \cdot 10^{-4}}{5 \cdot 10^{-4}} = 0.7744 \space \text{м}\) Ответ: \(0.77 \space \text{м}\) расстояние между пластинами.