Школьник прочитал в научно-популярной книге, что ускорение свободного падения на поверхности Луны в \(6\) раз меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли, масса Земли равна \(M_З = 6 \cdot 10^{24} \ кг,\) а радиус Земли примерно в \(3.7\) раз больше радиуса Луны. Из приведенного ниже списка выберите все верные утверждения, относящиеся к Земле и Луне. \(1)\) Покоящееся тело массой \(1\ кг\) на поверхности Луны имеет такой же вес, как и на поверхности Земли. \(2)\) Средняя плотность планеты Земля больше средней плотности Луны примерно в \(1.62\) раза. \(3)\) Если бросить камень с горизонтальной площадки под одним и тем же углом к горизонту с одинаковой начальной скоростью на Земле и на Луне, то на Земле, без учета сопротивления воздуха, камень пролетит до падения в \(2\) раза меньшее расстояние. \(4)\) Радиус Земли, вычисленный исходя из приведенных в научно-популярной книге сведений, примерно составляет \(6\ 340\ км.\) \(5)\) Масса Луны примерно в \(82\) раза меньше массы Земли.

Обозначим: \(g_З\) — ускорение свободного падения на Земле, \(g_Л\) — ускорение свободного падения на Луне. По условию: \(g_Л = \dfrac{g_З}{6} .\) Масса Земли \(M_З = 6 \cdot 10^{24}\) кг. Радиус Земли \(R_З = 3.7 R_Л .\) Ускорение свободного падения на поверхности небесного тела: \(g = G \dfrac{M}{R^2},\) где \(G = 6.67 \cdot 10^{-11} \, Н\cdotм^2/\text{кг}^2\) — гравитационная постоянная. Вес тела массой \(m\) на поверхности: \(P = m g .\) Проверим утверждения: \(1)\) Неверно. Вес тела на Луне: \(P_Л = m g_Л = m \cdot \dfrac{g_З}{6} .\) Вес на Земле: \(P_З = m g_З .\) Таким образом, \(P_Л = \dfrac{P_З}{6} ,\) то есть вес на Луне в \(6\) раз меньше. \(2)\) Верно. Средняя плотность: \(\rho = \dfrac{M}{V} = \dfrac{M}{\dfrac{4}{3} \pi R^3} .\) Тогда: \(\dfrac{\rho_З}{\rho_Л} = \dfrac{M_З}{M_Л} \cdot \left( \dfrac{R_Л}{R_З} \right)^3\) Из формулы для ускорения свободного падения: \(\dfrac{g_З}{g_Л} = \dfrac{M_З}{M_Л} \cdot \left( \dfrac{R_Л}{R_З} \right)^2 = 6\) Отсюда: \(\dfrac{M_З}{M_Л} = 6 \left( \dfrac{R_З}{R_Л} \right)^2 = 6 \cdot (3.7)^2\) Тогда: \(\dfrac{\rho_З}{\rho_Л} = 6 \cdot (3.7)^2 \cdot \left( \dfrac{1}{3.7} \right)^3 = 6 \cdot \dfrac{1}{3.7} \approx \dfrac{6}{3.7} \approx 1.62\) \(3)\) Неверно. Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту: \(L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}\) При одинаковых \(v_0\) и \(\alpha\): \(\dfrac{L_З}{L_Л} = \dfrac{g_Л}{g_З} = \dfrac{1}{6}\) То есть на Земле камень пролетит в \(6\) раз меньшее расстояние, а не в \(2\) раза. \(4)\) Верно. Для Земли: \(g_З = G \dfrac{M_З}{R_З^2}\) Подставим \(g_З = 10 \, \text{м/с}^2\) (обычное приближение): \(R_З = \sqrt{\dfrac{G M_З}{g_З}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{10}} = \sqrt{4.002 \cdot 10^{13}} \approx 6.34 \cdot 10^6 \, \text{м} = 6\ 340 \, \text{км}\) \(5)\) Верно. Из соотношения для ускорений: \(\dfrac{g_З}{g_Л} = \dfrac{M_З}{M_Л} \cdot \left( \dfrac{R_Л}{R_З} \right)^2 = 6\) Тогда: \(\dfrac{M_З}{M_Л} = 6 \left( \dfrac{R_З}{R_Л} \right)^2 = 6 \cdot (3.7)^2 = 6 \cdot 13.69 \approx 82.14\) То есть масса Луны примерно в \(82\) раза меньше массы Земли.

Тело брошено со скоростью \(v\) под углом \(\alpha\) к горизонту. В течение времени \(t\) оно поднимается на максимальную высоту \(h\), после чего начинает падать. Сопротивление воздуха отсутствует. Установите соответствие между физическими величинами и формулами для их расчета. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ \(А)\) время подъема \(t\) на максимальную высоту \(Б)\) максимальная высота \(h\) над горизонтом ФОРМУЛЫ \(1)\) \(\frac{v^2 \sin^2 \alpha}{2g}\) \(2)\) \(\frac{v \cos^2 \alpha}{g}\) \(3)\) \(\frac{v^2 \sin 2\alpha}{2g}\) \(4)\) \(\frac{v \sin \alpha}{g}\) \(А\) | \(Б\)

Разложение начальной скорости. Горизонтальная составляющая: \(v_x = v \cos \alpha\) (постоянна). Вертикальная составляющая: \(v_y = v \sin \alpha\) (изменяется под действием силы тяжести). Расчет времени подъема. В верхней точке траектории вертикальная скорость \(v_y = 0.\) Уравнение для вертикальной скорости: \(v_y(t) = v \sin \alpha- gt.\) Время подъема определяется из условия \(v_y(t) = 0\): \(t = \frac{v \sin \alpha}{g}\)Это соответствует формуле \(4.\) Расчет максимальной высоты. Используем уравнение движения по вертикали: \(y(t) = v \sin \alpha \cdot t- \frac{gt^2}{2}\)Подставляем время подъема \(t = \frac{v \sin \alpha}{g}\): \(h = v \sin \alpha \left(\frac{v \sin \alpha}{g}\right)- \frac{g}{2}\left(\frac{v \sin \alpha}{g}\right)^2 = \frac{v^2 \sin^2 \alpha}{2g}\)Это соответствует формуле \(1.\)

В жестком сосуде находится некоторое постоянное количество идеального газа. Температуру газа увеличили в \(3\) раза, при этом давление возросло на \(\Delta p = 50\,\text{кПа}\). Определите начальное давление газа в сосуде. Ответ дайте в килопаскалях.

Анализ условий задачи: Сосуд жесткий \(\Rightarrow V = \text{const}\) (изохорный процесс). Количество вещества газа постоянно. Начальное давление: \(p_1\). Конечное давление: \(p_2 = p_1 + \Delta p = p_1 + 50\,\text{кПа}\). Начальная температура: \(T_1\). Конечная температура: \(T_2 = 3T_1\). 2. Применение закона Шарля: Для изохорного процесса: \(\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}.\) Подставляем известные величины:\(\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_1 + 50}{3T_1}.\) 3. Решение уравнения: Упрощаем уравнение, умножая обе части на \(3T_1\):\(3p_1 = p_1 + 50.\) Переносим \(p_1\) в левую часть:\(2p_1 = 50.\) Находим начальное давление: \(p_1 = \frac{50}{2} = 25\,\text{кПа}.\)

В топке паровой машины сгорело \(50\,\text{кг}\) каменного угля, удельная теплота сгорания которого равна \(30\,\text{МДж/кг}.\) При этом машиной была совершена полезная механическая работа \(135\,\text{МДж}.\) Чему равен \(КПД\) этой тепловой машины? Ответ дайте в процентах.

\(1.\) Находим общее количество выделившейся теплоты: \(Q = q \cdot m = 30 \cdot 50 = 1\space500\,\text{МДж}\) \(2.\) Вычисляем \(КПД\) по формуле: \(\eta = \frac{A}{Q} \cdot 100\% = \frac{135}{1\space500} \cdot 100\%\) \(3.\) Рассчитываем значение: \(\eta = 0.09 \cdot 100\% = 9\%\)

Идеальный газ, количество которого неизменно, в некотором процессе \(1\)–\(2\) совершил положительную работу \(100 \, \text{Дж}.\) Внутренняя энергия газа в этом процессе изменилась на \(120 \, \text{Дж}.\) Из приведенного ниже списка выберите все правильные утверждения относительно проведенного процесса. \(1)\) Этот процесс представляет собой замкнутый цикл. \(2)\) В результате этого процесса газ отдал количество теплоты окружающим телам \((\Delta Q_{12}<0).\) \(3)\) В результате этого процесса температура газа могла как повыситься, так и понизиться. \(4)\) Объем газа в этом процессе уменьшился. \(5)\) Объем газа в этом процессе увеличился.

Обозначим через \(A\) работу, совершенную газом, и через \(\Delta U\) изменение внутренней энергии. По условию \(A=100 \, \text{Дж},\) величина изменения внутренней энергии равна \(120 \, \text{Дж},\) причем в условии не указан ее знак (сказано только «изменился на \(120 \, \text{Дж}\)»), поэтому \(\Delta U\) может быть как \(+120 \, \text{Дж},\) так и \(-120 \, \text{Дж}.\) Первый закон термодинамики для процесса дает соотношение \(\Delta U = Q- A ,\) откуда \(Q = A + \Delta U.\) Рассмотрим оба возможных знака изменения внутренней энергии. Если \(\Delta U=+120 \, \text{Дж},\) то \(Q = 100 + 120 = 220 \, \text{Дж},\) то есть газ получил от окружающих \(220 \, \text{Дж}\) тепла. Если \(\Delta U=-120 \, \text{Дж},\) то \(Q = 100 + (-120) = -20 \, \text{Дж},\) то есть газ отдал окружающим \(20 \, \text{Дж}\) тепла. Теперь проверим утверждения: \(1)\) Неверно. В замкнутом цикле изменение внутренней энергии равно нулю, а в условии указано изменение на \(120 \, \text{Дж}\) (не ноль), следовательно процесс не является замкнутым циклом. \(2)\) Неверно. По приведенным выше расчетам знак тепла \(Q\) зависит от знака \(\Delta U\); \(Q\) может быть положительным (газ получил тепло) или отрицательным (газ отдал тепло). Следовательно утверждать однозначно, что газ отдал тепло (\(\Delta Q_{12}<0\)), нельзя. \(3)\) Верно. Количество вещества в сосуде неизменно, для идеального газа внутренняя энергия пропорциональна температуре (\(U = c_v n T\)), поэтому изменение внутренней энергии соответствует изменению температуры. Поскольку в условии не указан знак \(\Delta U,\) температура могла как возрасти (при \(\Delta U=+120 \, \text{Дж}\)), так и уменьшиться (при \(\Delta U=-120 \, \text{Дж}\)). Поэтому утверждение верно. \(4)\) Неверно. Работа, совершенная газом, по определению положительна при расширении газа. Поскольку в условии сказано, что газ совершил положительную работу \(A=100 \, \text{Дж},\) это означает, что газ расширился в целом, а не сжался. Следовательно объем не уменьшился. \(5)\) Верно. Положительная работа газа соответствует увеличению объема (газ совершал работу против внешних сил), значит объем газа в процессе увеличился.