Тонкая прямая однородная палочка массой \(m = 0.2 \space \text{кг}\) и длиной \(l\) установлена на ребре неподвижной призмы, вокруг которого она может свободно вращаться в вертикальной плоскости (см. рисунок). Точка опоры палочки находится ближе к ее левому концу, на расстоянии \(\dfrac{l}{10}\) от ее середины. К левому концу палочки на легких нитях подвешен за ось невесомый блок, который может вращаться вокруг нее без трения. Через блок перекинута легкая нерастяжимая нить, на концах которой закреплены грузы массами \(m_1 = 0.5 \space \text{кг}\) и \(m_2 = 0.8 \space \text{кг}.\) Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на палочку и на все грузы. Груз какой массы \(M\) надо подвесить на легкой нити к правому концу палочки, чтобы она находилась в равновесии в горизонтальном положении при движении грузов \(m_1\) и \(m_2\) и вращении блока? Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.

Обоснование: \(1)\) Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. \(2)\) Палочку считаем абсолютно твердым телом. Условия равновесия: — сумма внешних сил равна нулю — сумма моментов внешних сил равна нулю \(3)\) Нить и блок невесомы, трения нет, поэтому силы натяжения одинаковы вдоль каждой нити. \(4)\) Применяем второй закон Ньютона для описания движения грузов. Решение: \(1)\) Определим расстояния от точки опоры: — до левого конца: \(0.4l\) — до центра палочки: \(0.1l\) — до правого конца: \(0.6l\) \(2)\) Запишем правило моментов для палочки относительно точки опоры: \(T_2 \cdot 0.4l = mg \cdot 0.1l + T \cdot 0.6l\) \(3)\) Для груза \(M{:}\) \(T = Mg\) \(4)\) Для невесомого блока: \(T_2 = 2T_1\) \(5)\) Запишем второй закон Ньютона для грузов \(m_1\) и \(m_2{:}\) \(m_1a = m_1g- T_1\) \(m_2a = T_1- m_2g\) \(6)\) Сложим уравнения, исключив ускорение: \(m_1a + m_2a = m_1g- T_1 + T_1- m_2g\) \((m_1 + m_2)a = (m_1- m_2)g\) \(a = \dfrac{m_1- m_2}{m_1 + m_2}g\) \(7)\) Найдем \(T_1\) из первого уравнения: \(T_1 = m_1g- m_1a = m_1g- m_1 \cdot \dfrac{m_1- m_2}{m_1 + m_2}g = \dfrac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g\) \(8)\) Тогда: \(T_2 = 2T_1 = \dfrac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}g\) \(9)\) Подставим в уравнение моментов: \(\dfrac{4m_1m_2}{m_1 + m_2}g \cdot 0.4l = mg \cdot 0.1l + Mg \cdot 0.6l\) \(10)\) Сократим \(gl{:}\) \(\dfrac{1.6m_1m_2}{m_1 + m_2} = 0.1m + 0.6M\) \(11)\) Выразим \(M{:}\) \(0.6M = \dfrac{1.6m_1m_2}{m_1 + m_2}- 0.1m\) \(M = \dfrac{1}{0.6} \left( \dfrac{1.6m_1m_2}{m_1 + m_2}- 0.1m \right)\) \(12)\) Подставим числовые значения: \(M = \dfrac{1}{0.6} \left( \dfrac{1.6 \cdot 0.5 \cdot 0.8}{0.5 + 0.8}- 0.1 \cdot 0.2 \right) = \dfrac{1}{0.6} \left( \dfrac{0.64}{1.3}- 0.02 \right)\) \(M = \dfrac{1}{0.6} (0.4923- 0.02) = \dfrac{1}{0.6} \cdot 0.4723 \approx 0.787 \space \text{кг}\) Ответ: \(0.787 \space \text{кг}\) масса груза \(M.\)

На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени. Чему равна проекция ускорения этого тела \(a_x\) в интервале времени от \(5\space с\) до \(10\space с?\) Ответ выразите в метрах на секунду в квадрате.

\(1.\) Определяем значения скорости в заданном интервале: \(v_x(5 \text{ с}) = 30 \text{ м/с}\) \(v_x(10 \text{ с}) = -20 \text{ м/с}\) \(2.\) Вычисляем изменение скорости: \(\Delta v_x = v_x(10 \text{ с})-v_x(5 \text{ с}) = -20-30 = -50 \text{ м/с}\) \(3.\) Находим временной интервал: \(\Delta t = 10 \text{ с}-5 \text{ с} = 5 \text{ с}\) \(4.\) Рассчитываем проекцию ускорения: \(a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{-50 \text{ м/с}}{5 \text{ с}} = -10 \text{ м/с}^2\)

Камень массой \(0.2\space кг\) брошен под углом \(60^\circ\) к горизонту. Каков модуль силы тяжести, действующей на камень в момент броска? Ответ дайте в ньютонах. Ускорение свободного падения принять равным \(10\space м/с^2\).

\(1.\) Формула силы тяжести: \(F_{\text{тяж}} = mg\) \(2.\) Подставляем значения: \(F_{\text{тяж}} = 0.2 \cdot 10 = 2\,\text{Н}\)

Тележка массой \(50\,\text{кг}\) с мальчиком массой \(50\,\text{кг}\) движется по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью \(1\,\text{м/с}\). Мальчик прыгает с тележки в направлении ее первоначального движения со скоростью \(2\,\text{м/с}\) относительно дороги. Определите модуль скорости тележки после прыжка. Ответ дайте в метрах в секунду.

Закон сохранения импульса: \(\vec{p}_{\text{нач}} = \vec{p}_{\text{кон}}\)\((M + m)v_0 = mv + MV\) 2. Подстановка значений: — Общая масса системы: \(M + m = 50\,\text{кг} + 50\,\text{кг} = 100\,\text{кг}\) — Начальный импульс: \(100\,\text{кг} \cdot 1\,\text{м/с} = 100\,\text{кг}\cdot\text{м/с}\) — Импульс мальчика после прыжка: \(50\,\text{кг} \cdot 2\,\text{м/с} = 100\,\text{кг}\cdot\text{м/с}\) 3. Уравнение сохранения импульса: \(100\,\text{кг}\cdot\text{м/с} = 100\,\text{кг}\cdot\text{м/с} + 50\,\text{кг} \cdot V\)\(0 = 50\,\text{кг} \cdot V\) 4. Вычисление скорости тележки: \(V = 0\,\text{м/с}\) 5. Тележка полностью останавливается, так как весь ее начальный импульс перешел к мальчику.

По резонансной кривой определите, во сколько раз изменилась амплитуда установившихся колебаний маятника при увеличении частоты вынуждающей силы с \(0.5\,\text{Гц}\) до \(1.0\,\text{Гц}\).

Анализ графика: — При частоте \(0.5\,\text{Гц}\) амплитуда составляет \(A_1 = 2\,\text{см}\) (согласно графику) — При частоте \(1.0\,\text{Гц}\) амплитуда достигает максимума \(A_2 = 10\,\text{см}\) 2. Расчет изменения амплитуды: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{10\,\text{см}}{2\,\text{см}} = 5\)