Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 15$, $BF = 8$.

Решение: Дано: ABCD - трапеция AF - биссектриса $\angle A$ BF - биссектриса $\angle B$ BF=8 AF=15 Найти: АВ-? Решение: 1) $\angle BAD + \angle ABC =180$ - односторонние 2) $\angle BAF= \cfrac{1}{2} \angle BAD$ - AF - биссектриса $\angle ABF= \cfrac{1}{2} \angle ABC$ - BF - биссектриса $\angle BAF + \angle ABF =\cfrac{1}{2} (\angle BAD + \angle ABC) =\cfrac{1}{2} 180 = 90$ $\Rightarrow \angle AFB = 180-(\angle BAF+ \angle ABF) = 90^o$ По теореме Пифагора в треугольнике ABF: $AB^2= AF^2+BF^2$ $AB=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}=17$ Ответ: 17

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 32$, $BF = 24$.

Решение: Дано: ABCD - трапеция AF - биссектриса $\angle A$ BF - биссектриса $\angle B$ BF=24 AF=32 Найти: АВ-? Решение: 1) $\angle BAD + \angle ABC =180$ - односторонние 2) $\angle BAF= \cfrac{1}{2} \angle BAD$ - AF - биссектриса $\angle ABF= \cfrac{1}{2} \angle ABC$ - BF - биссектриса $\angle BAF + \angle ABF =\cfrac{1}{2} (\angle BAD + \angle ABC) =\cfrac{1}{2} 180 = 90$ $\Rightarrow \angle AFB = 180-(\angle BAF+ \angle ABF) = 90^o$ По теореме Пифагора в треугольнике ABF: $AB^2= AF^2+BF^2$ $AB=\sqrt{24^2+32^2}=\sqrt{1600}=40$ Ответ: 40

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 24$, $BF = 7$.

Решение: Дано: ABCD - трапеция AF - биссектриса $\angle A$ BF - биссектриса $\angle B$ BF=7 AF=24 Найти: АВ-? Решение: 1) $\angle BAD + \angle ABC =180$ - односторонние 2) $\angle BAF= \cfrac{1}{2} \angle BAD$ - AF - биссектриса $\angle ABF= \cfrac{1}{2} \angle ABC$ - BF - биссектриса $\angle BAF + \angle ABF =\cfrac{1}{2} (\angle BAD + \angle ABC) =\cfrac{1}{2} 180 = 90$ $\Rightarrow \angle AFB = 180-(\angle BAF+ \angle ABF) = 90^o$ По теореме Пифагора в треугольнике ABF: $AB^2= AF^2+BF^2$ $AB=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25$ Ответ: 25

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 24$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $16$ и $12$.

Решение: Дано: AB,CD - хорды АВ=24 $OH \perp AB$ OH=16 OK=12 $OK \perp CD$ Найти: CD - ? Решение: 1) Проведём АО=ОВ=ОС=OD - радиусы $\triangle AOB$ - равнобедренный 2) $\triangle AOB$: т.к. $OH \perp AB$, ОН - высота, медиана и биссектриса (свойство равнобедренного треугольника) Тогда АН=НВ=24:2=12 $\triangle OHB$ - прямоугольный Тогда по теореме Пифагора: $OH^2+HB^2=OB^2$ $OB=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{400}=20$ 3) $\triangle KOD$ - прямоугольный По теореме Пифагора: $KD^2=OD^2-OK^2$ $KD=\sqrt{400-144}=16$ $\triangle COD$ - равнобедренный $OK \perp CD$, тогда ОК - медиана, высота, биссектриса $\Rightarrow CK=KD=16$ $СD=16+16=32$ Ответ: 32

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 18$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $12$ и $9$.

Решение: Дано: AB,CD - хорды АВ=18 $OH \perp AB$ OH=12 OK=9 $OK \perp CD$ Найти: CD - ? Решение: 1) Проведём АО=ОВ=ОС=OD - радиусы $\triangle AOB$ - равнобедренный 2) $\triangle AOB$: т.к. $OH \perp AB$, ОН - высота, медиана и биссектриса (свойство равнобедренного треугольника) Тогда АН=НВ=18:2=9 $\triangle OHB$ - прямоугольный Тогда по теореме Пифагора: $OH^2+HB^2=OB^2$ $OB=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$ 3) $\triangle KOD$ - прямоугольный По теореме Пифагора: $KD^2=OD^2-OK^2$ $KD=\sqrt{225-81}=12$ $\triangle COD$ - равнобедренный $OK \perp CD$, тогда ОК - медиана, высота, биссектриса $\Rightarrow CK=KD=12$ $СD=12+12=24$ Ответ: 24

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, стр. 109 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ОГЭ, математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 232182 балла
Трапеция
Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$ . Найдите $AB$ , если $AF = 15$ , $BF = 8$ .
id 232192 балла
Трапеция
Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$ . Найдите $AB$ , если $AF = 32$ , $BF = 24$ .
id 232202 балла
Трапеция
Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$ . Найдите $AB$ , если $AF = 24$ , $BF = 7$ .
id 232212 балла
Окружности
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$ , если $AB = 24$ , а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $16$ и $12$ .
id 232222 балла
Окружности
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$ , если $AB = 18$ , а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $12$ и $9$ .