Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 12$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $8$ и $6$.

Решение: Дано: AB,CD - хорды АВ=12 $OH \perp AB$ OH=8 OK=6 $OK \perp CD$ Найти: CD - ? Решение: 1) Проведём АО=ОВ=ОС=OD - радиусы $\triangle AOB$ - равнобедренный 2) $\triangle AOB$: т.к. $OH \perp AB$, ОН - высота, медиана и биссектриса (свойство равнобедренного треугольника) Тогда АН=НВ=12:2=6 $\triangle OHB$ - прямоугольный Тогда по теореме Пифагора: $OH^2+HB^2=OB^2$ $OB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$ 3) $\triangle KOD$ - прямоугольный По теореме Пифагора: $KD^2=OD^2-OK^2$ $KD=\sqrt{100-36}=8$ $\triangle COD$ - равнобедренный $OK \perp CD$, тогда ОК - медиана, высота, биссектриса $\Rightarrow CK=KD=8$ $СD=8+8=16$ Ответ: 16

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 10$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $12$ и $5$.

Решение: Дано: AB,CD - хорды АВ=10 $OH \perp AB$ OH=12 OK=5 $OK \perp CD$ Найти: CD - ? Решение: 1) Проведём АО=ОВ=ОС=OD - радиусы $\triangle AOB$ - равнобедренный 2) $\triangle AOB$: т.к. $OH \perp AB$, ОН - высота, медиана и биссектриса (свойство равнобедренного треугольника) Тогда АН=НВ=10:2=5 $\triangle OHB$ - прямоугольный Тогда по теореме Пифагора: $OH^2+HB^2=OB^2$ $OB=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$ 3) $\triangle KOD$ - прямоугольный По теореме Пифагора: $KD^2=OD^2-OK^2$ $KD=\sqrt{169-25}=12$ $\triangle COD$ - равнобедренный $OK \perp CD$, тогда ОК - медиана, высота, биссектриса $\Rightarrow CK=KD=12$ $СD=12+12=24$ Ответ: 24

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 16$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $15$ и $8$.

Решение: Дано: AB,CD - хорды АВ=16 $OH \perp AB$ OH=15 OK=8 $OK \perp CD$ Найти: CD - ? Решение: 1) Проведём АО=ОВ=ОС=OD - радиусы $\triangle AOB$ - равнобедренный 2) $\triangle AOB$: т.к. $OH \perp AB$, ОН - высота, медиана и биссектриса (свойство равнобедренного треугольника) Тогда АН=НВ=16:2=8 $\triangle OHB$ - прямоугольный Тогда по теореме Пифагора: $OH^2+HB^2=OB^2$ $OB=\sqrt{8^2+15^2}=17$ 3) $\triangle KOD$ - прямоугольный По теореме Пифагора: $KD^2=OD^2-OK^2$ $KD=\sqrt{17^2-64}=15$ $\triangle COD$ - равнобедренный $OK \perp CD$, тогда ОК - медиана, высота, биссектриса $\Rightarrow CK=KD=15$ $СD=15+15=30$ Ответ: 30

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите $AC$, если диаметр окружности равен $16$, а $AB = 15$.

Решение: Дано: d=16 АВ=15 ЕС=d=16 Найти: АС-? Решение: 1) Проведем ОВ - радиус $OB \perp AB$ - свойство касательной Т.к. $d=16 , EO=OC=OB=R=16:2=8$ 2) $\triangle ABO$ - прямоугольный По теореме Пифагора: $AO=\sqrt{AB^2+OB^2}=\sqrt{15^2+8^2}=17$ 3) $AC=AO+OC=17+8=25$ Ответ: 25

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите $AC$, если диаметр окружности равен $15$, а $AB = 4$.

Решение: Дано: d=15 АВ=4 ЕС=d=15 Найти: АС-? Решение: 1) Проведем ОВ - радиус $OB \perp AB$ - свойство касательной Т.к. $d=15 , EO=OC=OB=R=15:2=7,5$ 2) $\triangle ABO$ - прямоугольный По теореме Пифагора: $AO=\sqrt{AB^2+OB^2}=\sqrt{4^2+7,5^2}=8,5$ 3) $AC=AO+OC=8,5+7,5=16$ Ответ: 16

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, стр. 110 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ОГЭ, математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 232232 балла
Окружности
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$ , если $AB = 12$ , а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $8$ и $6$ .
id 232242 балла
Окружности
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$ , если $AB = 10$ , а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $12$ и $5$ .
id 232252 балла
Окружности
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$ , если $AB = 16$ , а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $15$ и $8$ .
id 232262 балла
Окружности
Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$ . Найдите $AC$ , если диаметр окружности равен $16$ , а $AB = 15$ .
id 232272 балла
Окружности
Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$ . Найдите $AC$ , если диаметр окружности равен $15$ , а $AB = 4$ .