Мяч массой \(200\) г подбросили с поверхности Земли вертикально вверх. В результате мяч поднялся на высоту \(3\) м, а затем упал обратно на землю. Чему равна работа силы тяжести на всём пути мяча?

Решение: Работа силы тяжести на всем пути равна сумме работ силы тяжести при подъеме и при падении мячика, обозначим их как \(A_{вверх}\) и \(A_{вниз}\), тогда \(A=A_{вверх}+A_{вниз}\) Распишем чему равна каждая из работ. Работа считается по формуле: \(A=FS\cos \alpha\) Когда мячик поднимается, его перемещение направлено вверх, а сила тяжести - вниз, значит, угол между ними равен \(180^{\circ}\), \(\cos alpha =-1\). Тогда формула работы принимает вид: \(A_{вверх}=-mgh\) При падении сила тяжести и перемещение мячика сонаправлены, угол между ними равен нулю, \(\cos \alpha =1\), формула работы принимает вид \(A_{вниз}=mgh\) Тогда \(A=-mgh+mgh=0~Дж\) Ответ: 0 Дж

Пуля, движущаяся со скоростью \(800\) м/с, пробила доску толщиной \(2,5\) см и на выходе из доски имела скорость \(200\) м/с. Определите массу пули, если средняя сила сопротивления, воздействующая на пулю в доске, равна \(108\) кН.

Решение: Переведем путь пули (толщину доски) в м: \(S=2,5~см=\frac{2,5}{100}~м=0,025~м\); силу сопротивления доски в Н: \(F_с=108~кН=108\cdot 1000~Н=108000~Н\) Работу силы сопротивления можно найти как изменение кинетической энергии (потенциальная энергия не менялась): \(A_с=E_к-E_{к0}~(1)\) Также ее можно расписать по формуле: \(A_с=F_с S\cos \alpha\) Сила сопротивления направлена против перемещения, угол между ними равен \(180^{\circ}\), \(\cos \alpha =-1\), формула работы принимает вид: \(A_с=-F_с S~(2)\) Приравняем (1) и (2): \(-F_с S=E_к-E_{к0}\) Распишем по формуле кинетические энергии: \(-F_с S=\frac{mv^2}{2}-\frac{mv_0^2}{2}\) Подставим числовые значения и найдем массу пули: \(-108000\cdot 0,025=\frac{m\cdot 200^2}{2}-\frac{m\cdot 800^2}{2} \\ -108000\cdot 0,5=4\cdot 10^4 m-64\cdot 10^4 m \\ -5400=-60\cdot 10^4 m \\ m=90\cdot 10^{-4}~кг=90\cdot 10^{-4}\cdot 1000~г=9~г\) Ответ: 9 г

Небольшой деревянный (сосна) шарик падает с некоторой высоте на поверхность воды и погружается на \(80\) см. Определите, с какой высоты относительно поверхности воды упал шарик, если на работу по преодолению силы сопротивления воды пошла половина кинетической энергии, которой шарик обладал перед входом в воду. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение: Переведем путь шарика (глубину погружения) в м: \(S=80~см=\frac{80}{100}~м=0,8~м\) На работу по преодолению силы сопротивления воды пошла половина кинетической энергии, это можно записать как \(A_с=0,5E_к\) Мячик свободно падает с некоторой высоты \(h\), после чего погружается в воды на глубину \(S\). В воде на мяч действует вниз сила тяжести, а вверх - сила Архимеда и сила сопротивления. Будем считать, что в нижней точке траектории шара потенциальная энергия равна нулю. В воде над телом совершает работу сила сопротивления и сила Архимеда. Эта работа идет на изменение энергии шарика. При попадании в воду он обладал потенциальной и кинетической энергией, а в нижней точке траектории и потенциальная, и кинетическая энергия равна нулю (скорость шарика равна нулю т.к. он остановился и перестал погружаться еще больше). Запишем это: \(-(A_с+A_А)=0-(E_к+E_п)~(*)\) Перед работами можно сразу поставить знак минуса, потому что и сила Архимеда, и сопротивления направлены против перемещения, угол между вектором перемещения и этими силами равен \(180^{\circ}\), \(\cos \alpha =-1\), а работа считается по формуле \(A=FS\cos \alpha\) Потенциальную энергию на высоте \(S\) можно найти как \(E_п=mgS\) Работа силы Архимеда равна: \(A_А=F_А S\) Распишем по формуле силу Архимеда: \(A_А=\rho_в gVS\) Объем тела выразим из формулы плотности: \(V=\frac{m}{\rho_с}\) Подставим объем в формулу работы: \(A_А=\rho_в g\frac{m}{\rho_с} S\) При падении шарика мы можем пренебречь сопротивлением воздуха, поэтому выполняется закон сохранения энергии, и потенциальная энергия переходит в кинетическую: \(mgh=E_к\) Тогда \(A_с=0,5mgh\) В момент попадания в воду потенциальная энергия шарика равна: \(E_п=mgS\) Подставим работы и энергии в (*): \(-(0,5mgh+\rho_в g\frac{m}{\rho_с} S)=0-(mgh+mgS) \\ mg(0,5h+\rho_в \frac{1}{\rho_с} S)=mg(h+S) \\ 0,5h+\rho_в\frac{1}{\rho_с} S=h+S\) Подставим числовые значения и найдем высоту \(h\): \(0,5h+1000\cdot \frac{1}{400} \cdot 0,8=h+0,8 \\ 0,5h+2=h+0,8 \\ 0,5h=1,2 \\ h=2,4~м\) Ответ: 2,4 м

Шар массой \(2\) кг, движущийся со скоростью \(4\) м/с, догоняет шар массой \(8\) кг, движущийся по той же прямой со скоростью \(2\) м/с. После столкновения шары движутся вместе. Определите, какое количество теплоты выделилось в результате соударения.

Решение: Количество выделившейся теплоты можно найти как разность начальной и конечной энергий: \(Q=E_н-E_к\) Изначально шары двигались каждый со своей скоростью и обладали кинетическими энергиями. После соударения они стали двигаться вместе, т.е. с одной скоростью, и их можно рассматривать как единой целое массой \(m+M\) и с новой скоростью \(v'\): \(Q=\frac{mv^2}{2}+\frac{Mu^2}{2}-\frac{(m+M)v'^2}{2}\) Для шаров выполняется закон сохранения импульса, запишем его в проекции на ось \(x\): \(mv+Mu=(m+M)v'\) Подставим числовые значения и найдем скорость шаров после соударения: \(2\cdot 4+8\cdot 2=(2+8)v' \\ 8+16=10v' \\ v'=\frac{24}{10}=2,4~м/с\) Вернемся к формуле теплоты, подставим в нее числовые значения: \(Q=\frac{2\cdot 4^2}{2}+\frac{8\cdot 2^2}{2}-\frac{(2+8)\cdot 2,4^2}{2}=16+16-28,8=3,2~Дж\) Ответ: 3,2 Дж

Маленький свинцовый шарик равномерно движется по вертикали в воде. Каков объём шарика, если при его перемещении на \(6\) м выделилось \(18,63\) мДж энергии?

Решение: Переведем выделенную энергию в Дж: \(Q=18,63~мДж=\frac{18,63}{1000}~Дж=0,01863~Дж\) На шарик в воде действует вниз сила тяжести, вверх - сила Архимеда и, т.к. выделяется теплота, на шарик вверх действует еще и сила сопротивления Теплота выделяется именно за счет силы сопротивления, поэтому считается как ее работа: \(Q=F_с S\) Шарик движется равномерно, его ускорение равно нулю. Направим ось \(x\) вверх и спроецируем на нее второй закон Ньютона: \(F_с+F_А-mg=0\) Выразим силу сопротивления: \(F_с=mg-F_А\) Сила Архимеда считается по формуле: \(F_А=\rho_в gV\) Массу выразим через объем и плотность: \(m=\rho_с V\) Подставим массу и силу Архимеда в формулу для силы сопротивления: \(F_с=\rho_с Vg-\rho_в gV\) Вернемся к формуле работы силы сопротивления: \(Q=(\rho_с Vg-\rho_в gV)\cdot S\) Подставим числовые значения и найдем объем шарика: \(0,01863=(11350\cdot V\cdot 10-1000\cdot 10\cdot V)\cdot 6 \\ 0,003105=113500V-10000V \\ 103500V=0,003105 \\ V=0,000000003~м^3=0,000000003\cdot 10^9~мм^3=30~мм^3\) Ответ: 30 мм\(^3\)