Банк заданий
ЕГЭ по информатике Задание №19 Теория игр. Часть 1

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах находится 81 камень или больше. В начальный момент в первой куче было семь камней, во второй куче – $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 73$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, когда такая ситуация возможна.

Два игрока, Полина и Вероника, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина. За один ход игрок может уменьшить количество камней в одной из куч в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень меньше, чем убирается) или убрать из одной из куч пять камней, при этом два камня перекладываются в соседнюю кучу, а оставшиеся три выбрасываются в океан несбывшихся надежд.

Например, пусть в одной куче 10, а в другой 15 камней; такую позицию мы будем обозначать (10, 15). За один ход из позиции (10, 15) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 17), (12, 10), (10, 7) и (5, 15).

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 69. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 69 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 35 камней, во второй куче – $S$ камней, $S > 50$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите максимальное значение $S$, при котором Полина не может выиграть за один ход, но при любом ходе Полины Вероника может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 51. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 51 камней или больше.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 50$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

- добавить в кучу 3 камня;

- добавить в кучу 8 камней;

- увеличить количество камней в куче в 2 раза.

Например, из кучи в 10 камней за один ход можно получить кучу из 13, 18 или 20 камней.

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 333. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 333 или более камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 332$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может выполнить любое из следующих действий:

- убрать из кучи пять камней;

- если количество камней в куче чётно, уменьшить его в два раза;

- если количество камней в куче кратно трём, уменьшить его в три раза;

- если количество камней в куче нечётно и не кратно трём, добавить один камень.

Например, если в куче 12 камней, то за один ход можно получить 7, 6 или 4 камня, а если в куче 11 камней, то за один ход можно получить 6 или 12 камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 19. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 19 или меньше камней.

В начале игры в куче было $S$ камней, $S > 19$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть первым ходом, но при любом первом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из обеих куч по три камня или уменьшить количество камней в одной из куч в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень меньше, чем убирается).

Например, пусть в одной куче 10, а в другой 15 камней; такую позицию мы будем обозначать (10, 15). За один ход из позиции (10, 15) можно получить любую из трёх позиций: (7, 12), (5, 15), и (10, 7).

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 100. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 100 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 48 камней, во второй куче – $S$ камней, $S > 52$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, когда такая ситуация возможна.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

- добавить в кучу 3 камня;

- добавить в кучу 6 камней;

- увеличить количество камней в куче в 3 раза.

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 23, 26 или 60 камней.

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 132. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 132 или более камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤S≤ 131$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи от 1 до 5 (включительно) камней или уменьшить количество камней в куче в пять раз (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 19, 18, 17, 16, 15 или 4 камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 12. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 12 или меньше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней, $S ≥ 20$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит одна куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу три камня, увеличить количество камней в куче в три раза или добавить в кучу возведённое в квадрат количество камней в ней.

Например, пусть в куче 10 камней, тогда игрок после своего хода может получить кучу из 13 камней, 30 камней или 110 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится более 665. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в куче будет 666 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней, $S < 666$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, когда такая ситуация возможна.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 2 или 3 камня либо увеличить количество камней в куче в 3 раза. Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 313. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 313 или более камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 312$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите сумму таких значений $S$, при которых Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч три камня или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается).

Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из трёх позиций: (3, 9), (6, 6), и (6, 5).

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 72. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 72 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 50 камней, во второй куче – $S$ камней, $S > 22$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение $S$, когда такая ситуация возможна.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) три камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 77 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 12 камней, во второй куче – $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 64$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи четыре камня или убрать из кучи шесть камней или уменьшить количество камней в куче в 2 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до большего).

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 16, 14 или 10 камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 19. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 19 или меньше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней, $S ≥ 20$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи три камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до большего).

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 15 или 7 камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 33. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 33 или меньше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней, $S ≥ 34$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

При каких значениях $S$ Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом? В ответе укажите одно число — количество таких значений.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи три камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в два раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 15 или 10 камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 17. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 17 или меньше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней, $S ≥ 18$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи два камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 18, 15 или 6 камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 19. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 19 или меньше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней, $S ≥ 20$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 54. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 54 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 53$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 67. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 67 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 66$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 39. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 39 камней или больше.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 38$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 58. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 58 камней или больше.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 57$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 65. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 65 или больше камней. В начальный момент в первой куче было шесть камней, во второй куче – $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 58$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, при котором такая ситуация возможна.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу пять камней либо увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 435. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 435 или более камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 434$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите наименьшее значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 59. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 59 или больше камней. В начальный момент в первой куче было пять камней, во второй куче – $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 53$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, при котором такая ситуация возможна.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 10 камней или уменьшить количество камней в 2 раза. При нечетном количестве камней в результате второго хода из кучи убирается на один камень больше, чем остается.

Например, из кучи из 21 камня можно получить кучу из 11 камней или кучу из 10 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней становится меньше 20. Игрок, первым получивший кучу, удовлетворяющую условию окончания игры, считается проигравшим.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $S > 30$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите максимальное значение $S$, при котором Ваня не может гарантировано выиграть после первого хода Пети, однако имеет выигрышную стратегию, в которой Петя сходил ровно два раза.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 123. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший суммарно в кучах 123 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 13 камней, во второй – $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 109$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, когда такая ситуация возможна.