Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_{0} = 295\) Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка \(f\) (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза \(v\) (в м/с) по закону \(f = \dfrac{f_{0}}{1 - \frac{v}{c}}\), где \(c\) — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на \(5\) Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(c = 300\) м/с. Ответ дайте в м/с.

Частота второго гудка должна быть не меньше, чем \(f = f_0 + 5 = 295 + 5 = 300\) Гц. Подставим в формулу: \(300 = \dfrac{295}{1 - \frac{v}{300}}.\) Умножим обе части на знаменатель: \(300\left(1 - \dfrac{v}{300}\right) = 295.\) Раскроем скобки: \(300 - v = 295.\) Отсюда: \(v = 5.\) Ответ: \(5\) м/с.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой \(299\) МГц. Скорость погружения батискафа \(v (\)в м/с) вычисляется по формуле \(v = c \cdot \dfrac{f - f_{0}}{f + f_{0}}\), где \(c = 1500\) м/с — скорость звука в воде, \(f_{0}\) — частота испускаемых импульсов (в МГц), \(f\) — частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна \(5\) м/с. Ответ дайте в МГц.

Подставим известные значения в формулу: \(5 = 1500 \cdot \dfrac{f - 299}{f + 299}.\) Разделим обе части на \(1500\): \(\dfrac{5}{1500} = \dfrac{f - 299}{f + 299}.\) Упростим левую часть: \(\dfrac{1}{300} = \dfrac{f - 299}{f + 299}.\) Решим пропорцию: \(1 \cdot (f + 299) = 300 \cdot (f - 299).\) Раскроем скобки: \(f + 299 = 300f - 300 \cdot 299.\) Перенесём \(f\) в правую часть, а числа — в левую: \(299 + 300 \cdot 299 = 300f - f.\) Вынесем \(299\) за скобку слева: \(299(1 + 300) = 299f.\) \(299 \cdot 301 = 299f.\) Разделим обе части на \(299\): \(f = 301.\) Ответ: \(301\) МГц.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями \(u\) и \(v (\)в м/с) соответственно, частота звукового сигнала \(f (\)в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле \(f = f_{0} \cdot \dfrac{c + u}{c - v}\), где \(f_{0} = 160\) Гц — частота исходного сигнала, \(c\) — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а \(u = 8\) м/с и \(v = 11\) м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна \(170\) Гц? Ответ дайте в м/с.

Подставим известные значения в формулу: \(170 = 160 \cdot \dfrac{c + 8}{c - 11}.\) Разделим обе части на \(160\): \(\dfrac{170}{160} = \dfrac{c + 8}{c - 11}.\) Упростим левую часть: \(\dfrac{17}{16} = \dfrac{c + 8}{c - 11}.\) Решим пропорцию: \(17(c - 11) = 16(c + 8).\) Раскроем скобки: \(17c - 187 = 16c + 128.\) Перенесём \(16c\) в левую часть, а числа — в правую: \(17c - 16c = 128 + 187.\) \(c = 315.\) Ответ: \(315\) м/с.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием \(f = 30\) см. Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от \(20\) см до \(40\) см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана — в пределах от \(160\) см до \(180\) см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение \(\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.\) На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким?

Из формулы линзы выразим \(d_1\): \(\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{d_2}.\) Так как \(d_1\) должно быть минимальным, а \(f = 30\) фиксировано, то \(\dfrac{1}{d_1}\) должно быть максимальным. Это достигается при минимальном \(\dfrac{1}{d_2}\), то есть при максимальном \(d_2\). Максимальное \(d_2 = 180\) см. Подставим: \(\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{30} - \dfrac{1}{180} = \dfrac{6}{180} - \dfrac{1}{180} = \dfrac{5}{180} = \dfrac{1}{36}.\) Отсюда: \(d_1 = 36.\) Проверим, что \(d_1 = 36\) см попадает в допустимый диапазон \([20; 40]\). Да, попадает. Ответ: \(36\) см.

Автомобиль, движущийся со скоростью \(v_0 = 24\) м/с, начал торможение с постоянным ускорением \(a = 3\) м/с\(^2\). За \(t\) секунд после начала торможения он прошёл путь (в м) \(s = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}.\) Определите время \(t\), если за это время автомобиль проехал \(90\) метров.

Подставим известные значения в формулу: \(90 = 24t - \dfrac{3t^2}{2}.\) Умножим обе части на \(2\): \(180 = 48t - 3t^2.\) Перенесём всё в одну сторону: \(3t^2 - 48t + 180 = 0.\) Разделим на \(3\): \(t^2 - 16t + 60 = 0.\) Решим квадратное уравнение: \(D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16.\) \(t = \dfrac{16 \pm 4}{2}.\) Получаем: \(t_1 = \dfrac{16 + 4}{2} = 10, \quad t_2 = \dfrac{16 - 4}{2} = 6.\) Оба корня положительные, но так как автомобиль тормозит, нужно проверить, за какое время он остановится: \(v = v_0 - at = 0 \Rightarrow t_{\text{ост}} = \dfrac{24}{3} = 8\) с. Значит, после \(8\) секунд автомобиль уже стоит, поэтому путь \(90\) метров он мог проехать только за время, не превышающее \(8\) секунд. Из двух корней подходит \(t = 6\) (так как \(10 > 8\)). Ответ: \(6\) секунд.