Два тела, массой \(m = 6\) кг каждое, движутся с одинаковой скоростью \(v = 9\) м/с под углом \(2\alpha\) друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле \(Q = mv^2 \sin^2 \alpha,\) где \(m\) — масса (в кг), \(v\) — скорость (в м/с). Найдите угол \(2\alpha\) (в градусах), если \(Q = 243\) Дж.

Подставим значения в формулу: \(243 = 6 \cdot 9^2 \cdot \sin^2 \alpha.\) \(243 = 6 \cdot 81 \cdot \sin^2 \alpha = 486 \sin^2 \alpha.\) Разделим на \(486\): \(\sin^2 \alpha = \dfrac{243}{486} = \dfrac{1}{2}.\) Отсюда: \(\sin \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.\) Так как \(\alpha\) — острый угол, то: \(\alpha = 45^\circ.\) Тогда искомый угол: \(2\alpha = 90^\circ.\) Ответ: \(90^\circ\).

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса \(m\) (в мг) уменьшается по закону \(m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}},\) где \(m_0 = 156\) мг — начальная масса, \(T = 8\) мин — период полураспада, \(t\) — время (в мин). Найдите время \(t\), когда масса станет равна \(39\) мг.

Подставим значения: \(39 = 156 \cdot 2^{-\frac{t}{8}}.\) Разделим обе части на \(156\): \(\dfrac{39}{156} = 2^{-\frac{t}{8}}.\) Упростим левую часть: \(\dfrac{39}{156} = \dfrac{1}{4}.\) Получаем: \(2^{-\frac{t}{8}} = \dfrac{1}{4}.\) Заметим, что \(\dfrac{1}{4} = 2^{-2}\). Тогда: \(-\dfrac{t}{8} = -2.\) Отсюда: \(\dfrac{t}{8} = 2 \quad \Rightarrow \quad t = 16.\) Ответ: \(16\) минут.

Водолазный колокол, содержащий \(\nu = 3\) моль воздуха при давлении \(p_1 = 1{,}4\) атм, медленно опускают на дно водоёма. При изотермическом сжатии работа \(A\) (в Дж) вычисляется по формуле \(A = \alpha \nu T \log_2 \dfrac{p_2}{p_1},\) где \(\alpha = 10{,}9\) Дж/(моль·К), \(T = 300\) К. Найдите конечное давление \(p_2\) (в атм), если \(A = 29430\) Дж.

Подставим известные значения: \(29430 = 10{,}9 \cdot 3 \cdot 300 \cdot \log_2 \dfrac{p_2}{1{,}4}.\) Вычислим произведение: \(10{,}9 \cdot 3 \cdot 300 = 10{,}9 \cdot 900 = 9810.\) Тогда: \(29430 = 9810 \cdot \log_2 \dfrac{p_2}{1{,}4}.\) Разделим обе части на \(9810\): \(3 = \log_2 \dfrac{p_2}{1{,}4}.\) По определению логарифма: \(\dfrac{p_2}{1{,}4} = 2^3 = 8.\) Отсюда: \(p_2 = 8 \cdot 1{,}4 = 11{,}2.\) Ответ: \(11{,}2\) атмосферы.

Водолазный колокол, содержащий \(\nu = 2\) моль воздуха объёмом \(V_1 = 120\) л, медленно опускают на дно водоёма. При изотермическом сжатии работа \(A\) (в Дж) вычисляется по формуле \(A = \alpha \nu T \log_2 \frac{V_1}{V_2},\) где \(\alpha = 8{,}7\) Дж/(моль·К), \(T = 300\) К. Найдите конечный объём \(V_2\) (в л), если \(A = 10440\) Дж.

Подставим известные значения: \(10440 = 8{,}7 \cdot 2 \cdot 300 \cdot \log_2 \frac{120}{V_2}.\) Вычислим произведение: \(8{,}7 \cdot 2 \cdot 300 = 8{,}7 \cdot 600 = 5220.\) Тогда: \(10440 = 5220 \cdot \log_2 \frac{120}{V_2}.\) Разделим обе части на \(5220\): \(2 = \log_2 \frac{120}{V_2}.\) По определению логарифма: \(\dfrac{120}{V_2} = 2^2 = 4.\) Отсюда: \(V_2 = \dfrac{120}{4} = 30.\) Ответ: \(30\) литров.

На рисунке изображён график функции вида \(f (x) = kx+b\). Найдите значение \(f (7)\).

По графику видно, что прямая проходит через точки \((0;-1)\) и \((1;1)\). Функция имеет вид: \(y=kx+b\) Подставим координаты точек в функцию: \(\begin{cases} -1=k\cdot 0+b,\\ 1=k\cdot 1+b. \end{cases}\) Получим систему: \(\begin{cases} b=-1,\\ k+b=1. \end{cases}\) Подставим \(b=-1\) во второе уравнение: \(k-1=1\) \(k=2\) Следовательно, \(f(x)=2x-1\) Найдём \(f(7)\): \(f(7)=2\cdot 7-1=13\) Ответ: \(13\).