В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону \(H = H_0 + bt + at^2,\) где \(H\) — высота столба воды (в м), \(H_0 = 8\) м, \(a = \dfrac{1}{72}\) м/мин\(^2\), \(b = -\dfrac{2}{3}\) м/мин, \(t\) — время в минутах. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Вода вытекает, пока высота столба \(H(t)\) положительна. Когда вода закончится, \(H = 0\). Подставим известные значения: \(0 = 8 - \dfrac{2}{3}t + \dfrac{1}{72}t^2.\) Умножим всё на \(72\), чтобы избавиться от знаменателей: \(0 = 576 - 48t + t^2.\) Перепишем: \(t^2 - 48t + 576 = 0.\) Это квадратное уравнение. Заметим, что это полный квадрат: \((t - 24)^2 = 0.\) Отсюда: \(t = 24.\) Ответ: \(24\) минуты.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0 = 90\) км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a = 16\) км/ч\(^2\). Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \(s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2},\) где \(t\) — время в часах. Определите время \(t\) (в минутах), если он удалился на \(72\) км.

Подставим значения в формулу: \(72 = 90t + \dfrac{16t^2}{2}.\) Упростим: \(72 = 90t + 8t^2.\) Перенесём всё в одну сторону: \(8t^2 + 90t - 72 = 0.\) Разделим на \(2\): \(4t^2 + 45t - 36 = 0.\) Решим квадратное уравнение: \(D = 45^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601.\) \(\sqrt{D} = 51.\) \(t = \dfrac{-45 \pm 51}{2 \cdot 4} = \dfrac{-45 \pm 51}{8}.\) Положительный корень: \(t = \dfrac{-45 + 51}{8} = \dfrac{6}{8} = 0{,}75 \text{ ч}.\) Переведём в минуты: \(0{,}75 \cdot 60 = 45 \text{ мин}.\) Ответ: \(45\) минут.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(\phi = \omega t + \beta \dfrac{t^2}{2},\) где \(t\) — время в минутах, \(\omega = 15\) град/мин — начальная угловая скорость, \(\beta = 6\) град/мин\(^2\) — угловое ускорение. Определите время \(t\), если угол намотки достиг \(2250^\circ\).

Подставим значения в формулу: \(2250 = 15t + 6 \cdot \dfrac{t^2}{2}.\) Упростим: \(2250 = 15t + 3t^2.\) Перенесём всё в одну сторону: \(3t^2 + 15t - 2250 = 0.\) Разделим на \(3\): \(t^2 + 5t - 750 = 0.\) Решим квадратное уравнение: \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750) = 25 + 3000 = 3025.\) \(\sqrt{D} = 55.\) \(t = \dfrac{-5 \pm 55}{2}.\) Положительный корень: \(t = \dfrac{-5 + 55}{2} = \dfrac{50}{2} = 25.\) Ответ: \(25\) минут.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h = 1{,}6 + 13t - 5t^2,\) где \(h\) — высота в метрах, \(t\) — время в секундах. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее \(6\) метров?

Нужно найти время, когда \(h \ge 6\): \(1{,}6 + 13t - 5t^2 \ge 6.\) Перенесём всё в одну сторону: \(-5t^2 + 13t + 1{,}6 - 6 \ge 0,\) \(-5t^2 + 13t - 4{,}4 \ge 0.\) Умножим на \(-1\) (знак неравенства меняется): \(5t^2 - 13t + 4{,}4 \le 0.\) Решим квадратное уравнение: \(5t^2 - 13t + 4{,}4 = 0.\) Умножим на \(10\), чтобы избавиться от десятичной дроби: \(50t^2 - 130t + 44 = 0.\) Разделим на \(2\): \(25t^2 - 65t + 22 = 0.\) Дискриминант: \(D = 65^2 - 4 \cdot 25 \cdot 22 = 4225 - 2200 = 2025.\) \(\sqrt{D} = 45.\) Корни: \(t = \dfrac{65 \pm 45}{2 \cdot 25} = \dfrac{65 \pm 45}{50}.\) \(t_1 = \dfrac{65 - 45}{50} = \dfrac{20}{50} = 0{,}4,\) \(t_2 = \dfrac{65 + 45}{50} = \dfrac{110}{50} = 2{,}2.\) Мяч находится на высоте не менее \(6\) м между этими моментами: \(\Delta t = t_2 - t_1 = 2{,}2 - 0{,}4 = 1{,}8.\) Ответ: \(1{,}8\) секунды.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы \(T = T_0 + bt + at^2,\) где \(t\) — время (в мин), \(T_0 = 1600\) К, \(a = -5\) К/мин\(^2\), \(b = 105\) К/мин. При температуре свыше \(1870\) К прибор может испортиться. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор.

Нужно найти момент времени, когда температура достигнет \(1870\) К: \(1870 = 1600 + 105t - 5t^2.\) Перенесём всё в одну сторону: \(-5t^2 + 105t + 1600 - 1870 = 0,\) \(-5t^2 + 105t - 270 = 0.\) Умножим на \(-1\): \(5t^2 - 105t + 270 = 0.\) Разделим на \(5\): \(t^2 - 21t + 54 = 0.\) Решим квадратное уравнение: \(D = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54 = 441 - 216 = 225.\) \(\sqrt{D} = 15.\) \(t = \dfrac{21 \pm 15}{2}.\) Корни: \(t_1 = \dfrac{21 - 15}{2} = 3, \quad t_2 = \dfrac{21 + 15}{2} = 18.\) Температура превысит \(1870\) К после \(t = 3\) минут и останется выше до \(t = 18\) минут (так как парабола ветвями вниз). Значит, наибольшее время, когда температура ещё не превысила \(1870\) К — это \(t = 3\) минуты (перед тем, как она начнёт расти выше). Но вопрос: "через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор" — обычно это момент, когда температура достигает критического значения. Так как при \(t = 3\) температура равна \(1870\), а при \(t > 3\) она становится больше, то нужно отключить прибор до того, как она станет больше, то есть в момент \(t = 3\). Ответ: \(3\) минуты.