На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

По графику первая прямая проходит через точки $(-4;0)$ и $(0;4)$. Функция имеет вид: $y=kx+b$ Подставим координаты точек в функцию: $\begin{cases} 0=-4k+b,\\ 4=b. \end{cases}$ Подставим $b=4$ в первое уравнение: $0=-4k+4$ $4k=4$ $k=1$ Получаем уравнение первой прямой: $y=x+4$ По графику вторая прямая проходит через точки $(0;0)$ и $(1;2)$. Функция имеет вид: $y=kx+b$ Подставим координаты точек в функцию: $\begin{cases} 0=b,\\ 2=k+b. \end{cases}$ Подставим $b=0$ во второе уравнение: $2=k$ Получаем уравнение второй прямой: $y=2x$ В точке пересечения значения функций равны: $x+4=2x$ $x=4$ Значит, абсцисса точки $A$ равна $4$. Ответ: $4$.

На рисунке изображён график функции вида $f (x) = ax^{2} + bx + c$. Найдите значение $f (-3)$.

По графику парабола проходит через точки $(0;2)$, $(1;0)$ и $(2;0)$. Функция имеет вид: $f(x)=ax^2+bx+c$ Подставим координаты точек в функцию: $\begin{cases} 2=a\cdot0^2+b\cdot0+c,\\ 0=a\cdot1^2+b\cdot1+c,\\ 0=a\cdot2^2+b\cdot2+c. \end{cases}$ Получим систему: $\begin{cases} c=2,\\ a+b+c=0,\\ 4a+2b+c=0. \end{cases}$ Подставим $c=2$: $\begin{cases} a+b=-2,\\ 4a+2b=-2. \end{cases}$ Умножим первое уравнение на $2$: $\begin{cases} 2a+2b=-4,\\ 4a+2b=-2. \end{cases}$ Вычтем первое уравнение из второго: $2a=2$ $a=1$ Найдём $b$: $1+b=-2$ $b=-3$ Следовательно, $f(x)=x^2-3x+2$ Найдём $f(-3)$: $f(-3)=(-3)^2-3\cdot(-3)+2=9+9+2=20$ Ответ: $20$.

На рисунке изображены графики функций видов $f (x) = ax^{2} + bx + c$ и $g(x) = kx$, пересекающихся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

По графику прямая $g(x)=kx$ проходит через точки $(0;0)$ и $(1;3)$. Подставим точку $(1;3)$ в функцию $g(x)=kx$: $3=k\cdot1$ $k=3$ Следовательно, $g(x)=3x$ По графику парабола проходит через точки $(0;0)$, $(4;0)$ и $(5;5)$. Функция имеет вид: $f(x)=ax^2+bx+c$ Подставим координаты точек в функцию: $\begin{cases} 0=a\cdot0^2+b\cdot0+c,\\ 0=a\cdot4^2+b\cdot4+c,\\ 5=a\cdot5^2+b\cdot5+c. \end{cases}$ Получим систему: $\begin{cases} c=0,\\ 16a+4b=0,\\ 25a+5b=5. \end{cases}$ Так как $c=0$, получаем: $\begin{cases} 4a+b=0,\\ 5a+b=1. \end{cases}$ Вычтем первое уравнение из второго: $a=1$ Найдём $b$: $4+b=0$ $b=-4$ Следовательно, $f(x)=x^2-4x$ В точках пересечения графиков значения функций равны: $x^2-4x=3x$ $x^2-7x=0$ $x(x-7)=0$ $x_1=0$ $x_2=7$ Точке $A$ соответствует $x=0$, поэтому абсцисса точки $B$ равна $7$. Ответ: $7$.

а) Решите уравнение $\cos 2x-\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)-1=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$.

Ответ: а) $\pi n$, $-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$, $-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$; б) $\dfrac{7\pi}{4}$, $2\pi$, $3\pi$

а) Решите уравнение $2\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)+\cos(\pi-x)=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Ответ: а) $\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$, $-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$; б) $-\dfrac{5\pi}{3}$, $-\dfrac{3\pi}{2}$, $-\dfrac{\pi}{2}$

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 308 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 623631 балл
Прямая (линейная функция)
На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$ . Найдите абсциссу точки $A$ .
id 623641 балл
Парабола (квадратичная функция)
На рисунке изображён график функции вида $f (x) = ax^{2} + bx + c$ . Найдите значение $f (-3)$ .
id 623651 балл
Парабола (квадратичная функция)
На рисунке изображены графики функций видов $f (x) = ax^{2} + bx + c$ и $g(x) = kx$ , пересекающихся в точках $A$ и $B$ . Найдите абсциссу точки $B$ .
id 623912 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение
$\cos 2x-\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)-1=0$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ .
id 623922 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение
$2\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)+\cos(\pi-x)=0$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right]$ .