Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a\) (км/ч\(^2\)). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v = \sqrt{2la},\) где \(l\) — пройденный путь (в км). Найдите ускорение \(a\), если при \(l = 0{,}5\) км скорость равна \(70\) км/ч.

Подставим значения в формулу: \(70 = \sqrt{2 \cdot 0{,}5 \cdot a}.\) Возведём обе части в квадрат: \(70^2 = 2 \cdot 0{,}5 \cdot a.\) \(4900 = 1 \cdot a.\) Отсюда: \(a = 4900.\) Ответ: \(4900\) км/ч\(^2\).

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a = 3500\) км/ч\(^2\). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v = \sqrt{2la},\) где \(l\) — пройденный путь (в км). Найдите путь \(l\), если скорость равна \(70\) км/ч.

Подставим значения в формулу: \(70 = \sqrt{2 \cdot l \cdot 3500}.\) Возведём обе части в квадрат: \(70^2 = 2 \cdot l \cdot 3500.\) \(4900 = 7000l.\) Разделим обе части на \(7000\): \(l = \dfrac{4900}{7000} = 0{,}7.\) Ответ: \(0{,}7\) км.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте \(h\) (в км) над землёй, до линии горизонта вычисляется по формуле \(l = \sqrt{2R h},\) где \(R = 6400\) км — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии \(48\) км?

Подставим значения в формулу: \(48 = \sqrt{2 \cdot 6400 \cdot h}.\) Возведём обе части в квадрат: \(48^2 = 2 \cdot 6400 \cdot h.\) \(2304 = 12800h.\) Разделим обе части на \(12800\): \(h = \dfrac{2304}{12800} = 0{,}18.\) Ответ: \(0{,}18\) км.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому \(P = \sigma S T^4\), где \(P\) — мощность излучения звезды (в Вт), \(\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}\) Вт/(м\(^2\)·К\(^4\)) — постоянная, \(S\) — площадь поверхности звезды (в м\(^2\)), а \(T\) — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\dfrac{1}{2401} \cdot 10^{22}\) м\(^2\), а мощность её излучения равна \(5{,}7 \cdot 10^{26}\) Вт. Найдите температуру этой звезды.

Выразим температуру: \(T^4 = \dfrac{P}{\sigma S}.\) Подставим значения: \(T^4 = \dfrac{5{,}7 \cdot 10^{26}}{5{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{2401} \cdot 10^{22}}.\) Сократим \(5{,}7\): \(T^4 = \dfrac{10^{26}}{10^{-8} \cdot \frac{1}{2401} \cdot 10^{22}}.\) Упростим знаменатель: \(10^{-8} \cdot 10^{22} = 10^{14}.\) Тогда: \(T^4 = \dfrac{10^{26}}{\frac{10^{14}}{2401}} = 2401 \cdot 10^{12}.\) Заметим, что \(2401 = 7^4\). Тогда: \(T^4 = 7^4 \cdot 10^{12} = (7 \cdot 10^3)^4.\) Отсюда: \(T = 7 \cdot 10^3 = 7000.\) Ответ: \(7000\) К.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \(pV^k = c\), где \(p\) — давление в газе (в Па), \(V\) — объём газа (в м\(^3\)), \(k = \dfrac{5}{3}\), \(c = 6{,}4 \cdot 10^6\) Па·м\(^5\). Найдите объём \(V\) при давлении \(p = 2 \cdot 10^5\) Па.

Из закона \(pV^k = c\) выразим \(V\): \(V^k = \dfrac{c}{p}.\) Подставим значения: \(V^{\frac53} = \dfrac{6{,}4 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^5} = 3{,}2 \cdot 10^{1} = 32.\) Возведём обе части в степень \(\dfrac{3}{5}\): \(V = 32^{\frac35}.\) Так как \(32 = 2^5\), то: \(V = (2^5)^{\frac35} = 2^3 = 8.\) Ответ: \(8\) м\(^3\).