Действия с обыкновенными дробями

Любые манипуляции с дробями основаны на одном принципе: значение дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно число (кроме нуля).

$ a/b = (a · c) / (b · c) и a/b = (a ÷ c) / (b ÷ c), $ где c ≠ 0.

Практический смысл:

Сокращение: 48/60 = (48 ÷ 12) / (60 ÷ 12) = 4/5.

Приведение к новому знаменателю: 3/7 = (3 · 4) / (7 · 4) = 12/28.

Сложение и вычитание требуют «общей почвы» — одинакового знаменателя.

План действий:

1. Найти НОК исходных знаменателей. Это число станет наименьшим общим знаменателем (НОЗ).
2. Вычислить доп. множитель для каждой дроби: НОЗ ÷ исходный_знаменатель.
3. Преобразовать: умножить числитель и знаменатель на найденный множитель.

Разберём на примере: привести 3/8 и 5/12 к общему знаменателю.

НОК (8, 12) = 24.

Для 3/8: 24 ÷ 8 = 3 (доп. множитель).

Для 5/12: 24 ÷ 12 = 2 (доп. множитель).

Результат: 3/8 = 9/24; 5/12 = 10/24.

Как только дроби приведены к одному знаменателю, работа сводится к операциям с числителями.

Алгоритм:

1. Привести к НОЗ.
2. Выполнить сложение или вычитание числителей.
3. Записать результат над общим знаменателем.
4. Сократить полученную дробь, если это возможно.

Здесь не нужен общий знаменатель.

Правило простое: числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.

$ a/b · c/d = (a · c) / (b · d) $

Секрет эффективности — предварительное сокращение. Можно сокращать любые числитель и знаменатель, даже из разных дробей.

Деление дробей подчиняется следующему правилу: чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь (то есть перевёрнутую).

$ a/b ÷ c/d = a/b · d/c = (a · d) / (b · c) $

Число вида 2 3/4 — это сумма целой части и дробной: 2 + 3/4.

Перевод в неправильную дробь: 2 3/4 = (2 · 4 + 3) / 4 = 11/4.

Для вычислений всегда лучше перейти к неправильным дробям, выполнить действие, а потом, если нужно, выделить целую часть.

1. Простое сложение

Запомни: складывать дроби без общего знаменателя — всё равно что складывать рубли с долларами без конвертации.

Ошибка: 2/3 + 1/2 = 3/5.
Верно: 4/6 + 3/6 = 7/6.

2. Забытый «переворот»

Мнемоническое правило: делить на дробь — всё равно что умножить на неё «вверх ногами».

3. Потеря знака минус

Отрицательная дробь требует такого же внимания к знакам, как и целое отрицательное число.

4. Фатальное сокращение

Сокращать можно только множители, а не слагаемые! Это грубая, но распространённая ошибка.

Ошибка: (7 + 4) / (7 + 9) = 4/9 (сокращать 7 на 7 нельзя!).
Верно: (7 + 4) / (7 + 9) = 11/16.

База в работе с дробями — это не зубрёжка, а понимание логики и регулярная практика. Решай примеры осознанно, прописывай каждый шаг и проводи работу над ошибками. Этот навык станет твоим надёжным инструментом не только на экзаменах, но и в дальнейшем обучении.