Зачем нужен график производной?
Если тебе дана функция, ты всегда можешь её продифференцировать, другими словами — вычислить её производную. А если для каждой функции ты можешь построить график, то и для её производной также можно построить график!
Зачем это надо? Чтобы получить наглядное представление о поведении функции и более детально её исследовать. Как ты уже знаешь, производная показывает, насколько быстро меняется данная функция в каждой точке, то есть скорость её изменения. А с помощью графика производной ты всегда можешь узнать о поведении функции на интервале: возрастает она, убывает или достигает своего локального экстремума. И это всё можно сделать, даже если неизвестно ни одного уравнения.
Связь графика производной и функции
Когда речь заходит про график производной, многие впадают в ступор, как же так? Вроде уже умеем строить график функции, а что же делать здесь?
Без паники. Важно помнить, что заданная функция и её производная — сёстры, вроде похожи и про одно и то же, но совершенно разные. Между ними тесная связь, но у каждой свой характер.
Если производная положительна на конкретном интервале, тогда соответствующая часть графика будет находиться выше оси Ox. Ну а функция будет возрастать при данных значениях «икс».
Аналогично с убыванием функции: ищем участки, на которых производная отрицательна, то есть части графика, находящиеся ниже оси Ox.
Когда производная принимает нулевое значение, то можем говорить о точках экстремума функции — максимальном или минимальном значении на промежутке. Что мы наблюдаем на графике? При некотором значении «икса» знак производной меняется с + на –, а сам график пересекает ось абсцисс в точке локального максимума. И наоборот, когда производная функции в некоторой точке меняет знак с – на +, можно говорить о локальном минимуме.
Давай посмотрим на изображение графиков некоторой функции f(x) и её сестрички производной f'(x). Видишь взаимосвязь?
Функции разные ⇒ графики абсолютно разные. Но есть связь.
Практика
Если теория понимается сложно, давай подробно рассмотрим примеры, которые могут встретиться в профильном ЕГЭ в 8 номере.
Пример 1.
На рисунке изображён график производной функции y = f(x), которая определена на промежутке (−3; 5). Найди промежутки убывания функции f(x) и укажи в ответе сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
При работе с графиком производной, вспоминай о том, что, чтобы функция убывала, производная должна быть отрицательной. То есть нас будет интересовать только область графика, находящаяся ниже оси абсцисс (там, где «игреки» отрицательные). Это часть графика на промежутке (–3; ≈3,8), значит, нас интересует сумма чисел –2 + (–1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 3.
Ответ: 3.
Пример 2.
На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−5; −2] f(x) принимает наименьшее значение?
Работаем с графиком производной. Минимального значения исходная функция достигает в тех точках, где производная меняет знак с + на –. Однако на отрезке [−5; −2] производная остаётся положительной на всём протяжении (кусочек графика лежит выше оси абсцисс), следовательно, сама функция возрастает на этом участке и принимает своё наименьшее значение в крайней левой точке, то есть при x = −5.
Ответ: –5.
Пример 3.
На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (–6; 6). Найти точку экстремума функции на интервале (–3; 4).
И вновь график производной. Экстремумы функции находятся в точках, при которых производная обнуляется. Значит, нужно искать такие «иксы», где происходит пересечение графика с осью абсцисс. На интервале (–3; 4) график пересекает ось Ох, причём знак меняется с – на +. Следовательно, точка x = 2 является локальным минимумом — точкой экстремума.
Ответ: 2.
Пример 4.
На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (−11; 11). Найди количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−9; 9].
График чего перед нами? Верно, производной. Поэтому точки экстремума исходной функции располагаются в местах, где производная меняет знак, то есть пересекает ось абсцисс.
Ответ: 5.
Пример 5.
Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 1]. На рисунке изображен график её производной. Найди промежутки возрастания функции f(x) и укажи в ответе сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Не пугайся вида графика, мы рассуждаем как обычно. Перед нами график производной. Функция возрастает на промежутках, где производная положительна, то есть нас интересует кусок графика, который лежит выше оси абсцисс.
Это промежуток [–4; 1]: –4 + (–3) + (–2) + (–1) + 0 + 1 = –9.
Ответ: –9.
Заключение
Таким образом, твоя главная задача двигаться по алгоритму:
- Определить график производной или функции перед тобой.
- Нарисовать для себя схему о связи функции и производной:
- Выполнить задание.
Всё! Твой балл за 8 номер профиля в кармане.
Автор:
Фролов Павел, методист «100балльного репетитора» по математике ЕГЭ
Подготовься к ЕГЭ на все 100
Скоро новый сезон! Ты с нами? Всем ученикам 100Б
даём самую низкую
цену на годовой курс 2025–2026.
Предложение ограничено.
Начать подготовку
