Работа

Введение

Задачи на работу — один из наиболее распространённых типов заданий в экзаменах по математике. Они встречаются в №21 второй части ОГЭ и в №10 первой части профильного ЕГЭ. Такие задачи кажутся сложными, но на самом деле имеют чёткий алгоритм решения. Давай разберёмся.

Ключевая концепция

Вся работа = 1

Главное правило: принимаем весь объём работы за единицу.

Бассейн = 1
Заказ = 1
Поле = 1
Доклад = 1

Основные формулы и понятия

Производительность (скорость работы) — P = A/t, где:

P — производительность (работа в единицу времени),
A — выполненная работа,
t — время.

Но поскольку A = 1, то P = 1/t.

Примеры:

Если первый рабочий выполняет заказ за 6 часов, то P₁ = 1/6.
Если второй рабочий выполняет заказ за 4 часа, то P₂ = 1/4.

Совместная работа:

(P₁ + P₂ + … + Pₙ) × T = 1, где T — время совместной работы.

Типовые схемы задач и алгоритмы решения

Схема 1: работают вместе

Условие: двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу…

Алгоритм:

Находим производительности: P₁ = 1/t₁, P₂ = 1/t₂.
Складываем производительности: Pсовм = P₁ + P₂.
Находим время: T = 1/Pсовм.

Пример:

Первый рабочий выполняет заказ за 12 дней, второй — за 6. За сколько дней они выполнят заказ вместе?

Решение:

P₁ = 1/12

P₂ = 1/6

Pсовм = 1/12 + 1/6 = 1/12 + 2/12 = 3/12 = 1/4

T = 1 ÷ (1/4) = 4 дня

Схема 2: работают последовательно

Условие: сначала работал один, потом подключился второй…

Алгоритм:

Определяем, кто сколько работал.
Вычисляем выполненную работу: A = P × t.
Составляем уравнение: A₁ + A₂ = 1.

Пример:

Иван может написать доклад за 4 часа, а Пётр — за 6 часов. Сначала 2 часа работал Иван один, потом подключился Пётр. За сколько часов был написан доклад?

Решение:

Pи = 1/4

Pп = 1/6

За 2 часа Иван сделал: 2 × (1/4) = 1/2 работы

Осталось: 1 – 1/2 = 1/2

Совместная производительность: 1/4 + 1/6 = 5/12

Время на остаток: (1/2) ÷ (5/12) = 6/5 = 1,2 часа

Общее время: 2 + 1,2 = 3,2 часа

Схема 3: часть работы выполняется вместе

Условие: после того как первый проработал 3 дня, к нему присоединился второй…

Алгоритм:

Записываем работу, выполненную до подключения второго.
Добавляем совместную работу.
Приравниваем к 1.

Пример:

Первая бригада может выполнить заказ за 10 дней, вторая — за 15. Первая бригада проработала 4 дня одна, потом бригады работали вместе. Сколько дней они работали вместе?

Решение:

P₁ = 1/10, P₂ = 1/15

Пусть x дней работали вместе

Уравнение: 4 × (1/10) + x × (1/10 + 1/15) = 1

0,4 + x × (1/6) = 1

x × (1/6) = 0,6

x = 3,6 дня

Трубы и бассейны

Особенности:

наполнение = положительная производительность;
слив = отрицательная производительность.

Пример:

Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 4. Третья труба сливает воду за 12 часов. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть все три трубы?

Решение:

P₁ = 1/6 (наполняет)

P₂ = 1/4 (наполняет)

P₃ = –1/12 (сливает)

Pсовм = 1/6 + 1/4 – 1/12 = 2/12 + 3/12 – 1/12 = 4/12 = 1/3

T = 1 ÷ (1/3) = 3 часа

Производительность после увеличения/уменьшения

Формула:

Новая производительность = k × P, где k — коэффициент изменения.

Пример:

После увеличения производительности на 20%: Pнов = 1,2 × Pстар.

Типичные ошибки и как их избежать

Ошибка 1: неправильный перевод единиц.
Правильно: всё время переводить в одинаковые единицы (часы/минуты).

Ошибка 2: путаница с последовательной работой.
Правильно: чётко разделять, кто когда работал.

Ошибка 3: забывать, что вся работа = 1.
Правильно: всегда начинать с A = 1.

Полезные лайфхаки

Проверка ответа: время совместной работы всегда меньше времени самого быстрого рабочего.
Оценка: если двое рабочих имеют производительность 1/a и 1/b, то совместное время ≈ ab/(a+b).
Дроби: не бойся работать с дробями, старайся считать в простых дробях (десятичные переводи).

Практические советы для экзамена

Читай условие внимательно, чтобы определить тип задачи.
Сразу обозначай производительности.
Составляй уравнение по этапам работы.
Проверяй размерность.
Не торопись — такие задачи требуют аккуратности.

Заключение

Задачи на работу — твои друзья на экзамене. Они решаются по чёткому алгоритму и приносят гарантированные баллы. Главное — понять основную идею и набить руку на практике.