Введение
В задании 9 ЕГЭ по математике встречаются практико-ориентированные задачи, где дана формула, содержащая квадратный корень. Успех в их решении зависит от умения применять чёткий план действий, работать с алгебраическими преобразованиями и внимательно анализировать условие. Эта статья научит тебя решать такие задачи на примерах из реальных прототипов ЕГЭ.
Универсальный алгоритм решения
Следуй этим шагам, чтобы избежать ошибок:
- Анализ условия:
Выпиши формулу и все известные величины. Определи, что требуется найти. Обрати особое внимание на единицы измерения. - Составление уравнения:
Если в условии есть слова «не менее» или «не более», рассматривай предельный случай («равно»). Подставь все известные значения в формулу. - Решение уравнения:
- Изолируй корень. Упрости уравнение так, чтобы корень остался на одной стороне.
- Возведи в квадрат. Чтобы избавиться от корня, возведи обе части уравнения в квадрат.
- Найди искомую величину. Реши полученное линейное или квадратное уравнение.
- Проверка:
Убедись, что:- Подкоренное выражение не отрицательно при найденном значении.
- Ответ логически соответствует условию (например, скорость не может быть отрицательной).
- Ответ:
Запиши окончательный ответ, соблюдая требуемые единицы измерения.
Разбор примеров
Пример 1: Разгон автомобиля.
Условие: Скорость автомобиля вычисляется по формуле v = √(2la), где l = 1 км. Найдите наименьшее ускорение a, чтобы скорость была не менее 100 км/ч.
Шаг 1: Анализ
- Дано: l = 1 км, v ≥ 100 км/ч
- Найти: a_min (км/ч²)
Шаг 2: Составление уравнения
Рассматриваем предельный случай, когда скорость равна 100 км/ч:
100 = √(2·1·a)
Шаг 3: Решение уравнения
- Упрощаем: 100 = √(2a)
- Возводим в квадрат: 100² = 2a
- Вычисляем: 10000 = 2a
- Находим a: a = 5000
Шаг 4: Проверка
При a = 5000 выражение под корнем 2a = 10000 > 0. При a > 5000 скорость будет больше 100 км/ч, значит, условие выполняется.
Ответ: 5000 км/ч²
Пример 2: Длина движущейся ракеты
Условие: Длина ракеты вычисляется по закону: l = l₀√(1 — v²/c²), где l₀ = 5 м — длина покоящейся ракеты, c = 3·10⁵ км/с — скорость света. Какова должна быть минимальная скорость ракеты v, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 4 м?
Шаг 1: Анализ
- Дано: l₀ = 5, c = 3·10⁵, l ≤ 4
- Найти: v_min
Шаг 2: Составление уравнения
Рассматриваем предельный случай l = 4:
4 = 5·√(1 — v²/c²)
Шаг 3: Решение уравнения
- Изолируем корень: 4/5 = √(1 — v²/c²)
- Возводим в квадрат: (0,8)² = 1 — v²/c²
- Вычисляем: 0,64 = 1 — v²/c²
- Переносим: v²/c² = 0,36
- Находим v: v = 0,6c = 0,6·3·10⁵ = 1,8·10⁵ км/с
Шаг 4: Проверка
При v = 1,8·10⁵ подкоренное выражение 1 — 0,36 = 0,64 ≥ 0
Ответ: 180000 км/с
Пример 3: Видимость горизонта
Условие: Расстояние до горизонта l = √(Rh/500), где R = 6400 км — радиус Земли, h — высота в метрах. Человек видит горизонт на 4,8 км. На какое наименьшее количество ступенек высотой 20 см нужно подняться, чтобы видеть на 6,4 км?
Шаг 1: Анализ
- Нужно найти разницу высот и перевести в количество ступенек
- Высота одной ступеньки: 0,2 м
Шаг 2: Находим начальную высоту h₁
4,8 = √(6400·h₁/500)
- Возводим в квадрат: 23,04 = 6400·h₁/500
- Умножаем на 500: 11520 = 6400·h₁
- Находим h₁: h₁ = 11520/6400 = 1,8 м
Шаг 3: Находим конечную высоту h₂
- 6,4 = √(6400·h₂/500)
- Возводим в квадрат: 40,96 = 6400·h₂/500
- Умножаем на 500: 20480 = 6400·h₂
- Находим h₂: h₂ = 20480/6400 = 3,2 м
Шаг 4: Считаем ступеньки
- Высота подъёма: Δh = 3,2 — 1,8 = 1,4 м
- Количество ступенек: n = 1,4/0,2 = 7
Ответ: 7 ступенек
Типичные ошибки и как их избежать
- Путаница с «не менее/не более»:
Запомни: «не менее» → ≥, «не более» → ≤. Решаем для равенства, чтобы найти минимум/максимум. - Невнимательность к единицам измерения:
Всегда проверяй, согласованы ли единицы (метры с километрами, часы с секундами). - Потеря корня или лишний корень:
После возведения в квадрат проверяй, удовлетворяют ли полученные значения области определения (подкоренное выражение ≥ 0) и смыслу задачи. - Арифметические ошибки:
Решай задачи со степенями и дробями особенно внимательно.
Заключение
Задачи с формулами и корнями в ЕГЭ — это не проверка знаний физики, а тест на умение работать с алгеброй. Чёткий алгоритм, аккуратность в вычислениях и понимание условия — залог успеха. Регулярно отрабатывай эти задания на примерах из открытого банка заданий ФИПИ.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
