Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями

Когда в одном примере встречаются и обыкновенные, и десятичные дроби, многие теряются. Секрет решения в том, чтобы привести всё к одному виду. Умение выбрать правильный путь — это залог высокого балла на экзамене.

Существует два стратегических пути:

1. Перевести всё в обыкновенные дроби.
   Это наиболее универсальный и надёжный способ. Он работает всегда и особенно спасает, когда среди дробей встречаются бесконечные периодические.
2. Перевести всё в десятичные дроби.
   Этот способ быстрее, но опаснее. Он работает только если ВСЕ обыкновенные дроби переводятся в конечные десятичные (их знаменатели после сокращения раскладываются только на 2 и/или 5).

Как выбрать стратегию?

Смотри на знаменатели обыкновенных дробей.

Если видишь в знаменателях 3, 7, 9, 6, 11 и т. д., сразу выбирай стратегию 1 (перевод в обыкновенные).

Если все знаменатели — это 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 50, то можно рассмотреть стратегию 2 (перевод в десятичные).

Это твой основной инструмент. Он гарантирует точный ответ.

Шаг 1: Преобразуй десятичные дроби в обыкновенные.

0.75 = 75/100 = 3/4 (не забудь сократить!).

2.125 = 2 целых 125/1000 = 2125/1000 = 17/8 (переведи в неправильную дробь и сократи).

Шаг 2: Выполни все действия по правилам для обыкновенных дробей.

Сложение/вычитание: приводи к общему знаменателю.
Умножение: умножай числители и знаменатели, сокращай.
Деление: умножай на обратную дробь.

Шаг 3: Если в ответе нужна десятичная дробь, выполни деление в получившейся обыкновенной.

Пример 1 (Сложение):

Вычисли: 1/3 + 0.25.

1. Переводим: 0.25 = 25/100 = 1/4. Пример превратился в 1/3 + 1/4.
2. Решаем: Приводим к общему знаменателю 12: 4/12 + 3/12 = 7/12.
3. Ответ: `7/12` (в десятичный вид переводить не нужно, это бесконечная дробь).

Пример 2 (Комбинированный):

Вычисли: (0.2 * 3/4) : (1.5 — 0.75).

1. Переводим: 0.2 = 2/10 = 1/5;

1.5 = 15/10 = 3/2;

0.75 = 75/100 = 3/4.

Пример превратился в: (1/5 * 3/4) : (3/2 – 3/4).

2. Решаем по действиям:

Действие в первых скобках: 1/5 * 3/4 = 3/20.
Действие во вторых скобках: 3/2 – 3/4 = 6/4 – 3/4 = 3/4.
Теперь делим: (3/20) : (3/4) = 3/20 * 4/3 = (3*4)/(20*3) = 1/5.

3. Ответ: 1/5 или 0.2.

Используй этот способ, только если уверен на 100%, что обыкновенные дроби в задании — конечные десятичные.

Шаг 1: Преобразуй обыкновенные дроби в десятичные, выполнив деление.

3/4 = 3 : 4 = 0.75.

7/8 = 7 : 8 = 0.875.

1/20 = 0.05.

Шаг 2: Выполни все действия с десятичными дробями.

Пример:

Вычисли: 5/8 — 0.25 * 1.2.

1. Анализ:

Знаменатель дроби 5/8 — это 8 (раскладывается на 2*2*2). Значит, она конечная. Можно переводить.

2. Переводим: 5/8 = 0.625.

3. Решаем по действиям (умножение, потом вычитание):

0.25 * 1.2 = 0.3

0.625 — 0.3 = 0.325

4. Ответ: 0.325.

1. Ловушка № 1: Бесконечная десятичная дробь.

Пример: вычисли 2/3 + 0.5.

Ученик переводит 2/3 ≈ 0.666, складывает: 0.666 + 0.5 = 1.166
Это неверно! Правильно — использовать стратегию 1.

Решение: 2/3 + 1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6 = 1 1/6.

2. Ловушка № 2: Потеря точности при умножении/делении.

Пример: вычисли (1.6 : 0.3) × 0.3.

Неверное решение:

1.6 : 0.3 ≈ 5.33 (уже ошибка: потеряли часть числа).

5.33 × 0.3 = 1.599 ≈ 1.6.

Правильное решение (через обыкновенные дроби):

1.6 = 16/10, 0.3 = 3/10.

(16/10 : 3/10) × 3/10 = (16/10 × 10/3) × 3/10 = 16/3 × 3/10 = 16/10 = 1.6.

3. Ловушка № 3: Неочевидный бесконечный результат.

Пример: вычисли 1/7 * 0.7.

Если перевести в десятичные, получится ~0.142857 * 0.7 — сложно и неточно.
Чтобы решить правильно, применяй стратегию 1.

Решение: 1/7 * 7/10 = (1*7)/(7*10) = 1/10 = 0.1.

1. Взгляни на пример.

Есть ли в нём обыкновенные дроби с знаменателями 3, 6, 7, 9, 11 и т. д.?

ДА → Сразу применяй стратегию 1 (перевод в обыкновенные).
НЕТ (только 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25…) → можешь выбрать любой способ, но стратегия 1 всегда безопасна.

2. Преобразуй все десятичные дроби в обыкновенные и сократи их.

3. Выполни действия строго по порядку (скобки, умножение/деление, сложение/вычитание), используя правила для обыкновенных дробей.

4. Сократи окончательный ответ. Если в задании просят записать ответ в виде десятичной дроби, аккуратно выполни деление.

Не бойся совместных действий. Запомни, первый ход — всегда выбор стратегии. Универсальная стратегия — перевод всего в обыкновенные дроби. Отработай её до автоматизма, и такие задачи станут для тебя источником уверенных баллов!