Таблица производных

Если ты уже легко отвечаешь на вопрос «Что такое производная?», знаешь её геометрический смысл, профессионально решаешь задания из 8 номера профиля и радостно выдохнул… что ж: привет, номер 12!

Твой путь привёл тебя к правилам, которые помогают вычислять производные для элементарных функций. Да-да, для конкретной функции, заданной уравнением, можно вычислить конкретную производную. Этот процесс называется дифференцирование. Поэтому можно встретить следующую формулировку некоторых заданий «продифференцируйте функцию». Это значит «вычислите производную».

Чтобы не выводить каждый раз производную, добрые люди взяли и собрали все эти правила в таблицу производных.

1. Первая элементарная функция — константа (просто любое число). По смыслу производной, раз мы находимся в неком «плато», то есть ничего не меняется и постоянно, можно утверждать, что скорость изменения равна нулю. Значит, производная константы C’ = 0.
2. Чуть усложним: умножим константу на переменную. Получим формулу $(ax)’ = a$.
   Вопрос: а если их совместить? Тогда получим производную любимой линейной функции $(ax + C)’ = a$.
3. Возведём в степень переменную и получим формулу $(x^n)’ = nx^{n-1}$ — производную степенной функции. Кстати, если её умножить на число, то коэффициент при дифференцировании никуда не денется: $(ax^n)’ = anx^{n-1}$.
4. $(\sqrt{x})’ = ?$ Конечно, можно просто дать ответ. Но! Лучше запомни, что функция корня — частный случай степенной, и при $x \ge 0$ равносильна $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Поэтому $(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
5. Как всегда следом за степенной «икс» любит убежать в степень и сделать функцию показательной. Очень важно не путать их! Правила дифференцирования очень отличаются, поэтому знакомься:
   $(a^x)’ = a^x \cdot \ln a$. Да, без логарифма никуда. Если ты не особенная показательная функция, в основании которой стоит число Эйлера:
   $(e^x)’ = e^x$. Экспонента как всегда не такая, как все, и ничего не любит усложнять.
6. А чему равна производная логарифма, интересно? $(\log_a x)’ = \frac{1}{x \cdot \ln a}$
   Ну а если логарифм натуральный, то всё проще (ты же помнишь, что в основании натурального логарифма?): $(\ln x)’ = \frac{1}{x}$.
7. Немного тригонометрических функций:
   $(\sin x)’ = \cos x$

   $(\cos x)’ = -\sin x$

   $(\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$

   $(\operatorname{ctg} x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$

И как это запомнить? Выучи производные синуса и косинуса, а для тангенса и котангенса можно использовать их выражение через отношение синуса к косинусу (и наоборот) и вычислить производную частного. А как это сделать, узнаешь чуть позже (не всё же сразу!).

Вообще со всеми элементарными функциями можно выполнять все арифметические действия: складывать, вычитать, умножать и делить, даже можно составлять композицию, но всё по строгим правилам, о которых мы ещё будем с тобой говорить. А сейчас давай посмотрим, как на практике применяются формулы дифференцирования элементарных функций.

Пример 1. Вычисли производную функции $y = 3x^3 — 54$.

Пример 2. Вычисли производную функции $y = -13 + 4x\sqrt{x}$.

Пример 3. Вычисли производную функции $y = 7\ln x$.

Пример 4. Вычисли производную функции $y = 12\sin x$.

Пример 5. Вычисли производную функции $y = 3\cos x$.

Пример 6. Вычисли производную функции $y = 4^x$.

Пример 7. Вычисли производную функции $y = -5e^x$.

С элементарными функциями разобрались? Тогда запоминай формулы дифференцирования и переходи на следующий уровень, пора выполнять арифметические операции с функциями!