В школьном кружке занимаются \(7\) учеников из восьмого класса и \(13\) учеников из девятого класса. Случайным образом выбирают двух учеников для защиты проекта. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны ученики разных классов. Ответ округлите до сотых.

Найдём общее число учеников: \(7+13=20.\) Благоприятные исходы могут произойти двумя способами: сначала выбрать ученика восьмого класса, затем девятого: \(\dfrac{7}{20}\cdot\dfrac{13}{19},\) или сначала выбрать ученика девятого класса, затем восьмого: \(\dfrac{13}{20}\cdot\dfrac{7}{19}.\) Тогда вероятность того, что окажутся выбраны один ученик восьмого класса и один ученик девятого класса, равна: \(P=\dfrac{7}{20}\cdot\dfrac{13}{19} +\dfrac{13}{20}\cdot\dfrac{7}{19}.\) Вычислим: \(P=\dfrac{91}{380}+\dfrac{91}{380} =\dfrac{182}{380}\approx0{,}48.\) Ответ: \(0{,}48\).

В музее представлены \(6\) исторических и \(14\) художественных экспонатов. Для выставки случайным образом выбирают два экспоната. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один исторический и один художественный экспонаты. Ответ округлите до сотых.

Найдём общее число экспонатов: \(6+14=20.\) Благоприятные исходы могут произойти двумя способами: сначала выбрать исторический экспонат, затем художественный: \(\dfrac{6}{20}\cdot\dfrac{14}{19},\) или сначала выбрать художественный, затем исторический: \(\dfrac{14}{20}\cdot\dfrac{6}{19}.\) Тогда вероятность того, что окажутся выбраны один исторический и один художественный экспонаты, равна: \(P=\dfrac{6}{20}\cdot\dfrac{14}{19} +\dfrac{14}{20}\cdot\dfrac{6}{19}.\) Вычислим: \(P=\dfrac{84}{380}+\dfrac{84}{380} =\dfrac{168}{380}\approx0{,}44.\) Ответ: \(0{,}44\).

В торговом центре работают два одинаковых автомата с напитками. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится напиток, равна \(0{,}3\). Вероятность того, что напиток закончится во втором автомате, равна \(0{,}25\). Вероятность того, что напиток закончится в обоих автоматах, равна \(0{,}12\). Найдите вероятность того, что к концу дня напиток останется в обоих автоматах.

\(A\) – событие «в первом автомате закончится напиток», \(P(A)=0{,}3,\) \(B\) – событие «во втором автомате закончится напиток», \(P(B)=0{,}25,\) \(A\cap B\) – событие «напиток закончится в обоих автоматах», \(P(A\cap B)=0{,}12.\) Найдём вероятность того, что напиток закончится хотя бы в одном автомате: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\) Подставим известные значения: \(P(A\cup B)=0{,}3+0{,}25-0{,}12=0{,}43.\) Тогда вероятность того, что напиток останется в обоих автоматах, равна вероятности противоположного события: \(P=1-0{,}43=0{,}57.\) Ответ: \(0{,}57\).

В компании работают два сервера. Вероятность того, что в течение дня первый сервер выйдет из строя, равна \(0{,}15\). Вероятность того, что выйдет из строя второй сервер, равна \(0{,}2\). Вероятность того, что выйдут из строя оба сервера, равна \(0{,}05\). Найдите вероятность того, что оба сервера будут работать в течение дня.

\(A\) – событие «первый сервер выйдет из строя», \(P(A)=0{,}15,\) \(B\) – событие «второй сервер выйдет из строя», \(P(B)=0{,}2,\) \(A\cap B\) – событие «оба сервера выйдут из строя», \(P(A\cap B)=0{,}05.\) Найдём вероятность того, что выйдет из строя хотя бы один сервер: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\) Подставим известные значения: \(P(A\cup B)=0{,}15+0{,}2-0{,}05=0{,}3.\) Тогда вероятность того, что оба сервера будут работать, равна вероятности противоположного события: \(P=1-0{,}3=0{,}7.\) Ответ: \(0{,}7\).

На автобусном маршруте работают два автобуса. Вероятность того, что первый автобус опоздает, равна \(0{,}4\). Вероятность того, что второй автобус опоздает, равна \(0{,}35\). Вероятность того, что оба автобуса опоздают, равна \(0{,}18\). Найдите вероятность того, что оба автобуса придут вовремя.

\(A\) – событие «первый автобус опоздает», \(P(A)=0{,}4,\) \(B\) – событие «второй автобус опоздает», \(P(B)=0{,}35,\) \(A\cap B\) – событие «оба автобуса опоздают», \(P(A\cap B)=0{,}18.\) Найдём вероятность того, что опоздает хотя бы один автобус: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\) Подставим известные значения: \(P(A\cup B)=0{,}4+0{,}35-0{,}18=0{,}57.\) Тогда вероятность того, что оба автобуса придут вовремя, равна вероятности противоположного события: \(P=1-0{,}57=0{,}43.\) Ответ: \(0{,}43\).