Решение задач на расчёты по формулам (показательные уравнения)

Задание №9 в ЕГЭ по математике профильного уровня посвящено вычислениям по формулам и часто содержит задачи, сводящиеся к решению показательных уравнений. Эти задачи имеют ярко выраженное прикладное значение — они моделируют реальные физические, химические или экономические процессы. Классический пример, который регулярно встречается на экзамене, — расчёт по формуле, описывающей процесс радиоактивного распада.

Условие задачи:

Масса радиоактивного изотопа уменьшается по закону $m(t) = m_0 \cdot 2^{−\frac{t}{T}}$. В начальный момент времени масса изотопа 96 мг. Период его полураспада составляет 3 минуты. Через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг?

Шаг 1: Записываем известные данные

Из условия мы имеем:

• Начальная масса m₀ = 96 мг.
• Период полураспада T = 3 мин.
• Конечная масса m(t) = 3 мг.
• Неизвестное время t — это то, что нам нужно найти.

Шаг 2: Подставляем известные значения в формулу

Подставляем все числа в нашу формулу: $3 = 96 \cdot 2^{−\frac{t}{3}}$

Мы получили классическое показательное уравнение.

Шаг 3: Решаем уравнение

Действуем по алгоритму: упрощаем, чтобы слева и справа от знака равенства были степени с одинаковым основанием.

1. Избавляемся от коэффициента. Разделим обе части уравнения на 96:
   $\frac{3}{96} = 2^{−\frac{t}{3}}$
   $\frac{1}{32} = 2^{−\frac{t}{3}}$
2. Представляем числа как степени двойки. Вспоминаем, что:
   $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{−5}$
   Подставляем это в наше уравнение:
   $2^{−5} = 2^{−\frac{t}{3}}$
3. Приравниваем показатели степеней. Поскольку основания степеней равны (число 2), мы можем приравнять их показатели:
   $−5 = −\frac{t}{3}$

Шаг 4: Находим неизвестное t

Решаем простое линейное уравнение: $-5 = −\frac{t}{3}$

Умножаем обе части на 3: $−15 = −t$

Умножаем обе части на −1: $t = 15$

Ответ: масса изотопа будет равна 3 мг через 15 минут.

1. Внимательно прочитай условие. Выпиши все известные величины и чётко определи, что нужно найти.
2. Подставь данные в формулу. Получи показательное уравнение.
3. Упрости уравнение. Цель — привести его к виду $a^{f(x)} = a^{g(x)}$. Перенеси все слагаемые в одну сторону.
   Раздели на коэффициент перед показательной функцией.
   Постарайся представить все числа как степени с нужным основанием (чаще всего это 2, 3, 5, 10 или основание натурального логарифма e).
4. Приравняй показатели. Если $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, то f(x) = g(x) (при условии, что a > 0 и a ≠ 1).
5. Реши полученное (обычно более простое) уравнение. Найди искомую переменную.
6. Запиши ответ. Не забудь проверить размерность (минуты, часы, годы и т. д.).

Задачи на радиоактивный распад — лишь один пример применения показательных функций. Аналогичные уравнения встречаются в задачах на банковские проценты (сложный процент), в простых уравнениях первой части и сложных из второй. Понимание общего алгоритма их решения — залог успешного выполнения заданий из ЕГЭ по математике профильного уровня. Регулярная практика в решении таких задач поможет уверенно справиться с ними на экзамене.