Алгоритм решения задания №12 ЕГЭ по математике: исследование функции с помощью производной

1. Точка минимума — ищем $x_{min}$.
2. $y’ = 3x^2 − 48x$— использовали правило суммы и производную степенной функции.
3. Приравниваем производную к нулю y’=0
   $3x^2 − 48x = 0$
   $3x(x − 16) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = 16$ — потенциальные экстремумы (критические точки).
4. Наносим полученные значения на числовую ось и определяем знаки производной на отрезках. По полученным знакам определяем поведение функции на каждом отрезке:
   
5. Определяем точки максимума и минимума функции:
   
6. Точка минимума x = 16.

Ответ: 16.

1. Наименьшее значение — ищем $y_{min}$, значит полученные «иксы» нужно будет подставлять в исходное уравнение $y_{min}(x_{min})$.
2. $y’ = e^{x−7} \cdot 1 + e^{x-7} \cdot (x − 7)’ \cdot (x − 8) = e^{x−7}(x − 7)$ — воспользовались правилами произведения и сложной функции.
3. Приравниваем производную к нулю y’ = 0
   $e^{x−7}(x − 7) = 0 \Leftrightarrow x = 7$ — потенциальная точка минимума.
4. Наносим полученные значения на числовую ось и определяем знаки производной на отрезках. По полученным знакам определяем поведение функции на каждом промежутке и отмечаем данный в условии отрезок.
   
   Работаем на отрезке [6;8], значит необходимо поработать и с концами отрезка, вдруг именно в них минимальное или максимальное значение. Конкретно в данном задании мы видим, что функция в значении 6 принимает большее значение, и, очевидно, в 8 также (достаточно посмотреть на стрелочки, но можешь подставить и проверить). Значит, х = 7 — точка минимума.Примечание: в качестве подсказки и самопроверки — мы должны получить «хорошее» значение в ответе, а значит, экспонента должна посчитаться. А это возможно лишь при нулевой степени, так как $e^0=1$.
5. Точка минимума x = 7, минимальное значение
   $y_{min}(7) = (7 − 8)e^{7−7} = −1$

Ответ: -1.

Видим логарифм — находим область определения.

$x + 7 > 0 \Leftrightarrow x > − 7$ важно это учитывать при ответе.

1. Точка минимума — ищем $x_{min}$.
2. $y’ = 4 − \frac{4}{x+7} \cdot (x + 7)’ = 4 − \frac{4}{x+7}$ — воспользовались правилом суммы и сложной функции.
3. Приравниваем производную к нулю y’ = 0
   $4 − \frac{4}{\ln(x+7)} = 0 \Leftrightarrow x = − 6$ — потенциальная точка минимума.
4. 
   Не забываем отметить область определения!
5. Точка −6 попадает в область определения и является точкой минимума.

Ответ: −6.

1. Точка максимума — ищем $x_{max}$.
2. $y’ = − \frac{x'(x^2+256)−x(x^2+256)’}{(x^2+256)^2} = − \frac{x^2+256−x\cdot 2x}{(x^2+256)^2} = − \frac{256−x^2}{(x^2+256)^2} = \frac{x^2−256}{(x^2+256)^2}$ — использовали правило деления.
3. $y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{x^2−256}{(x^2+256)^2} = 0 \Leftrightarrow x^2 − 256 = 0 \Leftrightarrow x = − 16 \text{ или } x = 16$ — потенциальные экстремумы.
4. 
5. Точка максимума $x_{max} = −16$.

Ответ: −16.

1. Наибольшее значение функции — $y_{max}$, значит полученные «иксы» нужно будет подставлять в исходное уравнение $ y_{max}(x_{max})$.
2. $y’ = −12\sin x + 6\sqrt{3}$ — воспользовались правилом суммы.
3. Приравниваем производную к нулю y’ = 0
   $−12\sin x + 6\sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x \in [0; \frac{\pi}{2}] \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}$ — важный момент, что мы берём значение из указанного отрезка, а не серию корней.
   
4. 
5. $\frac{\pi}{3}$ — точка максимума, значит именно в ней будет максимальное значение функции на данном отрезке. Посчитаем его:
   $y_{max}(\frac{\pi}{3}) = 12\cos\frac{\pi}{3} + 6\sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} − 2\sqrt{3}\pi + 6 = 12 \cdot 0,5 + 2\sqrt{3}\pi − 2\sqrt{3}\pi + 6 = 12$

Ответ: 12.

1. Наибольшее значение функции — $y_{max}$, значит полученные «иксы» нужно будет подставлять в исходное уравнение $y_{max}(x_{max})$.
2. $y’ = 13\sin x + 20$ — воспользовались правилом суммы.
3. Приравниваем производную к нулю y’ = 0
   $13\sin x + 20 = 0 \Leftrightarrow \sin x = -\frac{20}{13} < -1 \Rightarrow$ уравнение не имеет решения. Что же делать? Вот тут мы и будем анализировать поведение функции и работать с заданным отрезком $x \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$.
4. Первый способ классический: подставить любое значение в уравнение и определить поведение функции на всей области определения, в том числе и на заданном отрезке.
   
5. Тогда видим, что x = 0 — точка максимума.
   Второй способ. Раз у нас нет потенциальных экстремумов, мы просто проверяем концы отрезка.
   $y(-\frac{\pi}{2}) = -13\cos(-\frac{\pi}{2}) + 20 \cdot (-\frac{\pi}{2}) + 14$ — схитрим рассуждениями, что ответа с $(-\frac{\pi}{2})$ быть не может в бланке.
   $y(0) = -13\cos 0 + 20 \cdot 0 + 14 = -13 + 14 = 1$;
6. x = 0-точка максимума, значит именно в ней будет максимальное значение функции на данном отрезке. Посчитаем его:
   $y_{max}(0) = -13\cos 0 + 20 \cdot 0 + 14 = -13 + 14 = 1$.

Ответ: 1.