Действия с векторами

С координатами вектора и координатами точек мы уже разобрались. Значит, можно идти дальше! В этой статье мы рассмотрим действия с векторами как с геометрической, так и с аналитической точек зрения.

Пусть $\vec{a}\{x_1;y_1\}$ лежит на плоскости, а мы его хотим растянуть или сжать. Это будет отражаться операцией умножения вектора на число. Чтобы выполнить умножение $\vec{a}\{x_1 ; y_1\}$ на число n, нужно просто умножить на него координаты: $$n \cdot \vec{a} = \{ n x_1; n y_1 \}$$

Пример 1. Для $\vec{a}\{ 5 ;8 \}$ найдите обратный вектор.

Пусть на плоскости даны два вектора $\vec{a}\{x_1; y_1\} \text{ и } \vec{b}\{x_2; y_2\}$.

Чтобы сложить их, необходимо сложить соответствующие координаты: $\vec{a} + \vec{b} = \{ x_1 + x_2; y_1 + y_2 \}$. В результате сложения координат получаются новые координаты, что означает, что сумма векторов — это тоже вектор $\vec{S} = \vec{a} + \vec{b}$.

Сразу заметим, что таким образом можно складывать любое количество векторов, а в результате получать новый вектор. Например, пусть ещё у нас есть $$\vec{c}\{x_3; y_3\} \ \vec{S} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \{x_1 + x_2 + x_3; y_1 + y_2 + y_3\}$$

Если же мы хотим найти разность $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$, то $ \vec{a} − \vec{b} = \{x_1 − x_2; y_1 − y_2\}$. Потому что сложение и вычитание не отличаются, ведь любую разность мы легко превратим в сумму с противоположным: $ \vec{a} − \vec{b} = \vec{a} + (−\vec{b})$.

Пример 2. Даны$\vec{a}\{6; −4\}$ и $\vec{b}\{−3; −3\}$ и $\vec{c}\{−5; −8\}$. Найти длину вектора $3\vec{a} − 4\vec{b} − 3\vec{c}$.

Существуют два геометрических правила для сложения и вычитания векторов: правило треугольника и правило параллелограмма.

Правило треугольника выглядит следующим образом:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Разность изображается аналогично, только складываем с противоположным вектором $(−\vec{b})$:

В общем виде правило для вычитания выглядит вот так:

$\vec{AB} − \vec{AC} = \vec{CB}$

Важно! Нельзя путать направление. Складываемые векторы идут последовательно, а вектор суммы от начала первого к концу последнего. По такому правилу можно складывать несколько векторов, тогда правило треугольника превращается в правило многоугольника:

$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

Второе правило требует помещения складываемых векторов началами в одну точку и достраивания до параллелограмма. Тогда диагональ, исходящая из той же точки, будет являться суммой двух векторов.

$\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}$

Пример 3. На рисунке изображён прямоугольник DSPT. Найти $|\vec{DZ}+\vec{SZ}|$, если DS = 16, SP = 30.

Кстати, есть приём, помогающий не запутаться в направлении вектора при нахождении суммы. Назовём его «склейка векторов».

Например, мы считали $\vec{DZ} + \vec{ZT}$, но забыли правило и не знаем, что получится в результате: $\vec{DT}$ или $\vec{TD}$? Обращаем внимание на буквы посередине (последняя буква первого вектора и первая буква второго): они одинаковые — Z. Представь, что векторы по одинаковой букве могут склеиться. И тогда, убрав эту букву, мы получаем $\vec{DT}$!

Пример 4. На рисунке изображён прямоугольник KOZE. Найти $|\vec{KC} − \vec{OC}|$, если OK = 27, OZ = 36.

Конечно, для нахождения длины нам неважно, какой именно взять вектор: $\vec{KO}$ или $\vec{OK}$. Но находить вектор суммы нужно сразу правильно, потому что в дальнейшем тебе это неоднократно пригодится.

Пример 5. Дан равносторонний треугольник ABC. Найти $|\vec{AB}+\vec{AC}|$, если $AB = 13\sqrt{3}$.

Таким образом, векторы являются не только самостоятельным и интересным объектом для изучения, но и отличным вспомогательным инструментом при решении задач на многоугольники, а далее и на многогранники.