Введение
С геометрическим смыслом производной мы уже разобрались, но причём здесь физика? В этой статье мы разберём, что такое мгновенная скорость, и узнаем, в чём же заключается физический смысл производной.
Мгновенная скорость
Представь, что ты летишь на самолёте. Экран перед тобой показывает информацию о полёте в данную секунду: время 16:32:54, скорость 643 км/ч.
Конкретное время, конкретная скорость.
Скорость v в некоторый момент времени t обозначим как v(t) и назовём мгновенной скоростью. А так как любое движение тела можно описать с помощью уравнения, то с его помощью мы сумеем вычислить значение мгновенной скорости в любой момент времени.
Физический смысл производной
На промежутке времени $[t; t + \Delta t], \text{ где } \Delta t \to 0$ (то есть минимальное изменение времени при движении тела) мгновенная скорость объекта будет равна пределу средней скорости за это время.
$v_{\text{ср}}$ — это отношение всего пути ко всему времени, а в нашем случае изменение пути к изменению времени: $v_{\text{ср}} = \frac{\Delta S}{\Delta t}$. Ничего не напоминает? Предел приращения функции S(t) к приращению аргумента, стремящемуся к нулю — это определение производной функции!
Таким образом, физический смысл производной заключается в том, что производная = мгновенной скорости.
Если тело движется по закону S = S(t), то производная в момент времени t равна скорости S'(t) = v(t).
Примеры
Пример 1. Тело движется по закону $s(t)= 2t^3 − 5t + 1$, где s — путь в метрах, t — время в секундах. Найти мгновенную скорость тела в момент времени t = 2 с.
Как мы уже знаем, мгновенная скорость — это значение производной в моменте времени, в нашем случае при t = 2. Вычислим производную:
$s'(t) = (2t^3 − 5t + 1)’=6t^2 − 5$
Подставим $t = 2 s'(2) = 6 \cdot 2^2 − 5 = 19 (м/с)$.
Ответ: 19.
Пример 2. Тело движется прямолинейно по закон $x(t) = \frac{1}{2}t^3 − 3t^2 + 2t$, где x — путь в метрах, t — время в секундах от начала движения. Найти скорость тела в момент времени t = 6 с.
Как мы уже знаем, скорость — это значение производной в моменте времени, в нашем случае при t = 6. Вычислим производную:
$v(t) = x'(t) = \left( \frac{1}{2}t^3 − 3t^2 + 2t \right)’ = \frac{3}{2}t^2 − 6t + 2$
Подставим t = 6.
$v(6) = \frac{3}{2} \cdot 6^2 − 6 \cdot 6 + 2 = 20 \text{ (м/с)}$
Ответ: 20.
Пример 3. Тело начинает движение из точки A и движется прямолинейно на протяжении 15 секунд. На графике отображено, как менялось расстояние от точки A до точки В со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.
Определить, сколько раз за время движения тело останавливалось (не учитывая начало и конец движения).
Как мы уже знаем, скорость — это значение производной в моменте времени. Если тело останавливалось, то его скорость становилась равной нулю. Перед нами график функции s(t). Вспоминаем, что производная равна нулю в точках экстремума. Нам нужно посчитать «ямы» и «вершины», их 6.
Ответ: 6.
Ускорение
Для экзамена этого достаточно, но хочется отметить следующее: мы вычисляем производную функции s(t) и получаем по факту новую функцию s'(t). А что будет, если вычислить производную от производной? В мире математики мы получим вторую производную $(s'(t))’=s\prime\prime(t)$, а физический смысл будет уже в том, что $s\prime\prime(t)=v'(t)$ — скорость изменения скорости, то есть ускорение. Поэтому $s\prime\prime(t)=v'(t)=a$.
Автор:
Фролов Павел, методист «100балльного репетитора» по математике ЕГЭ
