Главный ключ к тригонометрии: основное тригонометрическое тождество

Попробуй угадать: какая формула в тригонометрии появляется в ЕГЭ чаще всех остальных вместе взятых? Это не сложная теорема, а одно простое равенство. Основное тригонометрическое тождество. Зная его назубок и понимая, что из него вытекает, ты автоматически решаешь минимум 1-2 задачи в первой части ЕГЭ и делаешь первый шаг в половине заданий второй. Без него — как без таблицы умножения.

Прочитав эту статью, ты:

• Навсегда запомнишь главную формулу и три её прямых следствия.
• Научишься по значению синуса или косинуса находить все остальные тригонометрические функции угла.
• Поймёшь, как четверть (координатная плоскость) влияет на знак ответа.
• Освоишь два мощных приёма для задач, где дан tg α или ctg α.
• Закрепишь навык на типовых заданиях №7 из ЕГЭ.

1. Король и его свита: одна формула — четыре следствия

В центре всего — основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Оно говорит о том, что квадрат синуса плюс квадрат косинуса одного и того же угла всегда равен единице. Это закон, который связывает эти две функции друг с другом.

Из него мгновенно получаются три «принца» — формулы, которые нужно выводить в уме за секунду:

1. Связь синуса и косинуса:
   • $\sin^2 \alpha = 1 − \cos^2 \alpha$
   • $\cos^2 \alpha = 1 − \sin^2 \alpha$

   Это просто тождество, переписанное относительно нужной функции.

2. Связь тангенса и косинуса (важно!):
   $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$
   Как получить? Поделим обе части основного тождества на cos² α:
   $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \to tg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$
3. Связь котангенса и синуса (важно!):
   $1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$
   Как получить? Теперь поделим основное тождество на sin² α:
   $\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \to 1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Рубрика «Простая аналогия»

Представь, что синус и косинус — это катеты прямоугольного треугольника, а единица — это гипотенуза (по теореме Пифагора!). Тангенс — это отношение катетов. Формула $1 + tg^² α = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ — это просто переодетая теорема Пифагора для сторон, одна из которых равна 1.

Рубрика «Ловушки экзамена»: знак

Самая частая ошибка: извлекая корень из $\sin^2 \alpha = 1 − \cos^2 \alpha$, ученики забывают про знак ±. Без этого ответ неполный и может быть неверным.

Как правильно: $\sin \alpha = \pm\sqrt{1 − \cos^2 \alpha}$. Плюс или минус? Это определяет четверть, в которой находится угол α. Смотрим на условие задачи.

Правило знаков для четвертей (запомни!):

• I четверть (0° до 90° или 0 до $\frac{\pi}{2}$): все функции (sin, cos, tg, ctg) положительны.
• II четверть (90° до 180° или $\frac{\pi}{2}$ до π): положителен только синус. Остальные отрицательны.
• III четверть (180° до 270° или π до $\frac{3\pi}{2}$): положителен только тангенс (и котангенс). Синус и косинус отрицательны.
• IV четверть (270° до 360° или $\frac{3\pi}{2}$ до 2π): положителен только косинус. Остальные отрицательны.

Чтобы легче запомнить, используй мнемонику — «все студенты-трудовики курса». По первым буквам: Все, Синус, Тангенс, Косинус — положительны в I, II, III, IV четвертях соответственно.

2. Алгоритм решения: «Дано одно — найди всё»

Если известно sin α или cos α и указана четверть, действуй по шагам:

1. Запиши нужную формулу-следствие из основного тождества.
2. Подставь известное значение.
3. Извлеки корень, не забыв про знак ±.
4. Определи итоговый знак, посмотрев на четверть из условия.

Пример 1

Условие. Найдите sin α, если $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ и $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Разбор:

1. Используем связь синуса и косинуса: $\sin^2 \alpha = 1 − \cos^2 \alpha$.
2. Подставляем: $\sin^2 \alpha = 1 − (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = 1 − \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 − \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$.
3. Извлекаем корень: $\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{25}} = \pm\frac{1}{5}$.
4. Определяем знак: Угол α лежит в первой четверти $(0; \frac{\pi}{2})$. В первой четверти синус положительный.

Ответ: $\sin \alpha = \frac{1}{5}$.

Пример 2

Условие. Найдите tg α, если $\cos \alpha = −\frac{2\sqrt{13}}{13}$ и $\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$.

Разбор:

1. Используем связь тангенса и косинуса: $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
2. Найдем cos² α: $\cos^2 \alpha = (−\frac{2\sqrt{13}}{13})^2 = \frac{4 \cdot 13}{169} = \frac{52}{169} = \frac{4}{13}$.
3. Подставляем в формулу: $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{\frac{4}{13}} = \frac{13}{4}$.
   Значит, $tg^2 \alpha = \frac{13}{4} − 1 = \frac{13}{4} − \frac{4}{4} = \frac{9}{4}$.
4. Извлекаем корень: $tg \alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{4}} = \pm\frac{3}{2}$.
5. Определяем знак: Угол α лежит в третьей четверти $(\pi; \frac{3\pi}{2})$. В третьей четверти тангенс положительный («все студенты-трудовики курса» — в третьей четверти положителен тангенс).

Ответ: $tg \alpha = \frac{3}{2}$.

3. Суперприём для задач с tg 𝛼 или ctg 𝛼

Если дано значение тангенса или котангенса, а в выражении sin α и cos α встречаются линейно (не в квадратах), используй лайфхак: вырази одну функцию через другую с помощью определения.

Пример 3

Условие. Найдите $\frac{10 \cos \alpha + 4 \sin \alpha + 15}{2 \sin \alpha + 5 \cos \alpha + 3}$, если tg α = -2,5.

Разбор (гениально просто!):

1. Связываем функции: из $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ следует $\sin \alpha = tg \alpha \cdot \cos \alpha = (−2,5) \cdot \cos \alpha$.
2. Подставляем sin α в исходную дробь:
   Числитель: $10 \cos \alpha + 4 \cdot (−2,5 \cos \alpha) + 15 = 10 \cos \alpha − 10 \cos \alpha + 15 = 15$.
   Знаменатель: $2 \cdot (−2,5 \cos \alpha) + 5 \cos \alpha + 3 = −5 \cos \alpha + 5 \cos \alpha + 3 = 3$.
   Переменная cos α полностью сократилась!
3. Получаем ответ: $\frac{15}{3} = 5$.

Ответ: 5.

А если бы в условии был ctg α?

Всё то же самое, но выражаем cos α через sin α: $\cos \alpha = ctg \alpha \cdot \sin \alpha$.

1. Базовый уровень — на четверть и знак

Найдите cos α, если $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ и $\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$.

2. Уровень ЕГЭ (№7) — примени суперприём

Найдите $\frac{6 \cos \alpha − 2 \sin \alpha}{3 \sin \alpha + 5 \cos \alpha}$, если tg α = 4.

3. Задача на понимание (основной закон)

Может ли синус угла быть равным -0,8, а его косинус равным 0,7? Ответ обоснуй.

Главные тезисы

1. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ — это аксиома. Всегда.
2. Из неё — три ключевые формулы для связи всех функций.
3. Знак ± при извлечении корня обязателен. Его уточняем по четверти.
4. Если дан tg α (ctg α), часто эффективнее выразить sin α через cos α (или наоборот) и подставить, чем искать значения каждой функции.

Чек-лист «Что я теперь знаю и умею»

• Я знаю наизусть основное тригонометрическое тождество.
• Могу за 10 секунд вывести из него формулы связи tg α с cos α и ctg α с sin α.
• Помню правило знаков для всех функций в четырёх четвертях (например, по мнемонике «все студенты-трудовики курса»).
• Могу, зная sin α (или cos α) и четверть, найти cos α (или sin α) и tg α.
• Владею суперприёмом «вырази и подставь» для задач с $\frac{tg\alpha}{ctg\alpha}$.

Финальный совет

Прорешивай задачи, где нужно найти одну функцию по другой, обязательно проговаривая про себя:

1. Пишу формулу.
2. Считаю.
3. Извлекаю корень с ±.
4. Определяю знак по четверти.

Этот алгоритм доведёт твои действия до автоматизма и спасёт на экзамене.