Классическое определение вероятности. Теоремы о вероятностях событий

Повседневная жизнь полна ситуаций, исход которых не может быть известен заранее. Математический аппарат теории вероятностей превращает вопросы о том, каковы шансы на конкретный исход того или иного события, в чёткие вычисления. На экзаменах этот раздел проверяет умение логически мыслить и применять компактные, но важные правила.

Основной инструмент для большинства экзаменационных задач — классическая (лапласовская) вероятность. Она работает в ситуациях с симметрией, где можно посчитать все варианты.

Суть правила:

$Вероятность = \frac{\text{количество «хороших» случаев}}{\text{общее количество всех возможных и равноправных случаев}}$.

Формально: $P = \frac{m}{n}$, где

• P — искомая вероятность;
• m — число благоприятствующих событию исходов;
• n — число всех элементарных и равновозможных исходов.

Важный нюанс: условие равновозможности — основа корректности. Оно выполняется для стандартных игральных кубиков, правильно перетасованных колод карт, лотерейных барабанов и т.д.

Разберём на практике.

Сценарий А (один объект)

Случайным образом выбирают одну цифру от 1 до 9. Какова вероятность, что она будет простой?

Ход мыслей:
Все цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → n = 9.
Простые цифры (больше 1 и делятся только на 1 и на себя): 2, 3, 5, 7 → m = 4.
Вычисление: $P = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

Сценарий Б (выбор из совокупности)

В вазе 7 красных и 8 синих шаров. Наудачу берут один. Чему равна вероятность взять красный шар?

Ход мыслей:
Всего шаров 7 + 8 = 15 → n = 15.
Красных шаров: 7 → m = 7.
Вычисление: $P = \frac{7}{15}$.
Ответ: $\frac{7}{15}$.

Не для всех явлений можно построить модель с равновозможными исходами. Как оценить вероятность того, что конкретный ученик сдаст экзамен? А вероятность того, что утро будет солнечным? Здесь используют статистическое (частотное) определение.

Суть подхода: длительные наблюдения дают устойчивую оценку. Вероятность приближённо равна частоте события в длинной серии одинаковых испытаний.

Формула частоты: $W = \frac{M}{N}$, где

• W — наблюдаемая частота (статистическая вероятность);
• M — число успешных испытаний;
• N — общее число проведённых испытаний.

Пример из жизни

Страховая компания анализирует данные. Из 50 000 водителей возраста 20–25 лет за год произошло 800 аварий. Статистическая вероятность аварии для такого водителя оценивается как $W = \frac{800}{50000} = 0,016$. Эта цифра используется для расчёта страховых тарифов.

Ключевые слова на экзамене: по данным, в ходе наблюдений, относительная частота.

Чтобы находить вероятности комбинаций, используют простые, но фундаментальные теоремы.

Закон 1. Обратное событие

События «A произойдёт» и «A не произойдёт» противоположны и исчерпывают все возможности. Сумма их вероятностей равна 1.

Формула:

$P(A) + P(\overline{A}) = 1$ или $P(\overline{A}) = 1 − P(A)$

Применение: если P(сдать экзамен) = 0,85, то P(не сдать) = 1 – 0,85 = 0,15.

Закон 2. Сложение альтернатив (правило «ИЛИ» для несовместных)

События «несовместны», если появление одного исключает появление другого (как при одном броске монеты).

Формула: P(A или B) = P(A) + P(B), где «или» означает, что произошло хотя бы одно из них.

Обобщение: P(A1 или A2 или … или Ak) = P(A1) + P(A2) + … + P(Ak), если события попарно несовместны.

Пример

В колоде 36 карт. Какова вероятность вытащить туза или короля?

• $P(туз) = \frac{4}{36}, P(король) = \frac{4}{36}$. События несовместны (карта не может быть и тузом, и королём).
• $P = \frac{4}{36} + \frac{4}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

Закон 3. Сложение с поправкой (правило «ИЛИ» для любых событий)

Если события совместны (то есть могут произойти вместе, например, «быть отличником» и «заниматься музыкой» в одном классе), нужно вычесть «зону перекрытия».

Формула: P(A или B) = P(A) + P(B) – P(A и B).

Разбор

В группе 30 человек. 18 знают английский (A), 16 — французский (B), 10 знают оба языка (A и B). Какова вероятность, что случайно выбранный студент знает хотя бы один язык?

• $P(A) = \frac{18}{30}, P(B) = \frac{16}{30}, P(A\text{ и }B) = \frac{10}{30}$.
• $P(A\text{ или }B) = \frac{18}{30} + \frac{16}{30} − \frac{10}{30} = \frac{24}{30} = 0,8$.
• Без вычитания пересечения ($\frac{10}{30}$) мы бы посчитали знающих оба языка дважды.

Закон 4. Умножение шансов (правило «И» для независимых)

События независимы, если исход одного никак не влияет на шансы другого (последовательные броски кубика, вытягивание карты с возвращением).

Формула: P(A и B) = P(A) * P(B).

Пример

Вероятность попасть в цель у первого стрелка 0,9, у второго — 0,8. Они стреляют по одному разу, не глядя на результат друг друга. Какова вероятность, что оба попадут?
P(оба попадут) = 0,9 * 0,8 = 0,72.

Важно! «Несовместные» (не могут быть вместе) и «независимые» (не влияют друг на друга) — это принципиально разные понятия. Фактически несовместные события почти всегда зависимы.

1. Определяй условие. Что является случайным опытом? Что считается исходом? Какое событие нужно найти?
2. Выбери метод.
   • Если есть симметрия, а исходы можно посчитать → классическая вероятность ($\frac{m}{n}$).
   • Если есть данные многократных испытаний → статистическая вероятность ($\frac{M}{N}$).
   • Если событие составное («хотя бы», «или», «и») → применяй теоремы.
3. Внимательно посчитай n и m. Используй комбинаторику (сочетания, когда порядок не важен; размещения, когда порядок важен). Проверь, все ли исходы равновозможны.
4. Проведи вычисления и получи числовой ответ. Убедись, что 0 ≤ P ≤ 1.
5. Проверь через противоположное событие или иным логическим способом.

• Ошибка равновозможности. Не все исходы равновероятны по умолчанию. Например, исходы «выиграть миллион» и «не выиграть ничего» в лотерее не равновозможны.
• Путаница с комбинаторикой. Ключевой вопрос: важен ли порядок элементов? Выбор команды дежурных — сочетания (порядок не важен). Распределение золотой, серебряной и бронзовой медалей — размещения (порядок важен).
• Слепое сложение вероятностей. Всегда спрашивай себя: «А могут ли эти события произойти одновременно?» Если да — используй формулу с вычитанием.
• Магия «хотя бы один». Спасение — переход к противоположному. Вероятность того, что хотя бы один раз выпадет орёл при трёх бросках равна: 1 – P(ни одного орла) = 1 – P(три решки).

Теория вероятностей кажется трудной только на первый взгляд. Но как только понимаешь, что за каждой случайностью стоит строгая логика, тема сразу же становится понятной и предсказуемой. Регулярная практика на разнообразных задачах — лучшая подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.