Введение
Стереометрические задачи с конусом регулярно появляются на ЕГЭ в заданиях № 3. Это базовый уровень сложности, но статистика показывает, что каждый пятый выпускник теряет балл именно здесь. Причина обычно не в формулах, а в непонимании ключевого свойства — подобия конусов при сечении плоскостью, параллельной основанию.
В этом материале собраны все типы заданий, которые встречались в официальных сборниках и на реальных экзаменах последних пяти лет.
Теоретический минимум
Элементы конуса
Любой прямой круговой конус характеризуется тремя линейными параметрами:
- высота h — расстояние от вершины до плоскости основания;
- радиус основания r;
- образующая l — отрезок, соединяющий вершину с границей основания.
Эти три величины связаны между собой равенством:
$l^2 = r^2 + h^2$
Соотношение вытекает из рассмотрения прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей.
Площади поверхностей
Для решения достаточно помнить две формулы.
Боковая поверхность: $S_{бок} = \pi rl$.
Полная поверхность: $S_{полн} = \pi r(r + l)$.
Закон подобия для конусов
Если конус рассечь плоскостью, идущей параллельно основанию, образуется малый конус (верхняя часть). Он всегда подобен исходному большому конусу.
Коэффициент подобия находится как отношение любых соответствующих линейных размеров:
$k = \frac{h_1}{h_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2}$
Важнейшее следствие:
- площади поверхностей и сечения относятся как k²;
- объёмы относятся как k³.
Приёмы запоминания и практические советы
Приём 1. «Мысленный разрез»
Прежде чем записывать решение, остановись на секунду и представь осевое сечение конуса. Это плоский равнобедренный треугольник. Все линейные величины (r, h, l) находятся на этом чертеже мгновенно.
Приём 2. «Треугольник в уме»
Если в условии упомянуты две любые величины из трёх (высота, радиус, образующая), третья находится по теореме Пифагора. Доведи это действие до автоматизма.
Приём 3. «Доли от вершины»
Фраза «считая от вершины» определяет высоту малого конуса. Например, запись «высота разделена в отношении m : n, считая от вершины» означает:
- малый конус имеет высоту, равную m частям;
- большой конус — m + n частей;
- коэффициент подобия $k = \frac{m}{m + n}$.
Приём 4. «Кубы и квадраты»
Никогда не путай: если речь идёт о площади — возводим k в квадрат, если об объёме — в куб.
Образцы решения задач
Нахождение линейных элементов через теорему Пифагора
Задача 1
Известно, что диаметр основания конуса равен 40 единицам, а образующая составляет 25 единиц. Требуется вычислить высоту.
Радиус есть половина диаметра: r = 20.
Применим основное соотношение:
$h = \sqrt{l^2 − r^2} = \sqrt{625 − 400} = \sqrt{225} = 15$
Ответ: 15.
Задача 2
Высота конуса равна 8, образующая — 10. Необходимо найти площадь осевого сечения.
Осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса.
Сначала находим радиус: $r = \sqrt{l^2 − h^2} = \sqrt{100 − 64} = \sqrt{36} = 6$.
Диаметр равен 12.
Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$.
Ответ: 48.
Применение подобия для вычисления площади сечения
Задача 3
Площадь основания исходного конуса составляет 18 квадратных единиц. Высота конуса поделена на две части: 3 и 6 единиц, причём отсчёт ведётся от вершины. Через точку деления проведено сечение параллельно основанию. Вычислить площадь полученного сечения.
Полная высота большого конуса: 3 + 6 = 9.
Высота малого конуса (верхнего) равна 3.
Коэффициент подобия: $k = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Поскольку площадь изменяется пропорционально квадрату линейного коэффициента:
$S_{\text{сеч}} = S_{\text{осн}} \cdot k^2 = 18 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 18 \cdot \frac{1}{9} = 2$.
Ответ: 2.
Задачи на объём и переливание жидкости
Задача 4
Ёмкость по форме представляет собой конус, расположенный вершиной вниз. Жидкость заполняет часть сосуда, причём уровень достигает ровно одной трети высоты. Объём налитой жидкости равен 4 мл. Какой объём потребуется долить до полного заполнения?
Коэффициент подобия между конусом жидкости и полным конусом составляет $k = \frac{1}{3}$.
Отношение объёмов равно кубу коэффициента:
$\frac{V_{жидк}}{V_{полн}} = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$
Следовательно, полный объём сосуда в 27 раз больше:
$V_{полн} = 4 \cdot 27 = 108 мл$
Для заполнения не хватает:
108 – 4 = 104 мл.
Ответ: 104.
Подобие при вычислении полной поверхности
Задача 5
Полная поверхность исходного конуса равна 35 квадратным единицам. Параллельно основанию выполнено сечение, которое делит высоту в отношении 3 : 2, причём отсчёт опять же от вершины. Требуется определить площадь полной поверхности отсечённого (верхнего) конуса.
Общее количество частей высоты: 3 + 2 = 5.
Высота верхнего конуса составляет 3 доли, высота полного — 5 долей.
Коэффициент подобия:
$k = \frac{3}{5} = 0,6$
Линейные размеры уменьшаются в 0,6 раза. Полная поверхность, будучи суммой площадей, также уменьшается пропорционально квадрату коэффициента:
$S_{верх} = S_{полн} \cdot k^2 = 35 \cdot (0,6)^2 = 35 \cdot 0,36 = 12,6$
Ответ: 12,6.
Распространённые трудности и как с ними справиться
- Неверное определение коэффициента подобия.
При делении высоты в отношении a : b часто ошибочно принимают $k = \frac{a}{b}$ или $k = \frac{b}{a}$.
Что делать: всегда чётко фиксируй, высота какого конуса (малого или большого) берётся в числитель. Меньший конус соответствует меньшей высоте.
- Игнорирование квадрата и куба.
Встречаются работы, где при вычислении площади пишут просто k, забывая о возведении в степень.
Что делать: прежде чем записать ответ, задай себе вопрос: «Я ищу площадь или объём?». Площадь — k², объём — k³.
- Попытка применить подобие к неподобным объектам.
Иногда ученики пытаются использовать коэффициент подобия для сравнения площадей сечений, проведённых на разных уровнях, но без учёта, что эти сечения принадлежат разным конусам.
Что делать: всегда выделяй два подобных конуса: тот, что целиком, и тот, что сверху (или снизу, если сосуд перевёрнут).
- Механическое запоминание формул без понимания.
Например, формула Sбок = πrl запоминается, но применяется даже тогда, когда нужно найти площадь сечения, не являющегося боковой поверхностью.
Что делать: каждую задачу начинай с мысленного чертежа. Что именно требуется найти? Круг, треугольник, боковую поверхность?
Итоговый чек-лист
К моменту сдачи экзамена важно уметь:
- безошибочно находить любой линейный элемент конуса по двум известным;
- чётко различать ситуации, когда применяется прямое вычисление (теорема Пифагора) и когда используется подобие;
- мгновенно определять коэффициент подобия, обращая внимание на формулировку «считая от вершины»;
- правильно применять степени при переходе от линейных размеров к площадям (вторая степень) и объёмам (третья степень);
- уверенно решать пять представленных выше типов задач, поскольку они покрывают практически все варианты задания № 3 за последние годы.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
