Что представляет собой квадратное уравнение
Квадратным уравнением является математическое выражение, которое можно записать в форме: ax² + bx + c = 0, где a, b и c — это известные числа из множества действительных чисел, причём a не может равняться нулю;
x — это неизвестная переменная, значение которой требуется найти.
В силу того, что наибольшая степень переменной x равна 2, данное уравнение классифицируется как уравнение второй степени.
Примеры:
x² − 5x + 6 = 0;
2x² + 3x − 2 = 0;
−x² + 4x = 0 (в данном случае c = 0).
Определение корней квадратного уравнения
Для нахождения решений квадратного уравнения часто прибегают к формуле, основанной на дискриминанте: D = b² – 4ac.
Оценка дискриминанта
Величина дискриминанта указывает на число решений:
- Если D > 0, уравнение имеет два различных решения.
- Если D = 0, уравнение имеет одно решение (кратности 2).
- Если D < 0, уравнение не имеет действительных решений.
Расчёт корней
Когда D ≥ 0, корни определяются по следующей формуле:
Пример решения:
Рассмотрим уравнение x² − 3x + 2 = 0.
Определяем коэффициенты: a = 1, b = −3, c = 2.
Вычисляем дискриминант: D = (−3)² – 4 * 1 * 2 = 1.
Находим корни:
Ответ: x₁ = 2, x₂ = 1.
Упрощённые формы квадратных уравнений
В некоторых случаях квадратные уравнения могут быть представлены в более простом виде. Такие уравнения, называемые неполными, они классифицируются на три вида:
Уравнение вида ax² = 0.
Пример: 7x² = 0.
Делим обе части на 7:
x² = 0
x = 0.
Данное уравнение имеет единственный корень.
Уравнение вида ax² + bx = 0.
Пример: x² + 3x = 0.
Выносим общий множитель за скобки:
x(x + 3) = 0.
Произведение обращается в нуль, когда любой из множителей равен нулю:
x = 0
x + 3 = 0
x = −3.
Ответ: два корня — x = 0 и x = −3.
Уравнение вида ax² + c = 0.
Пример: x² − 16 = 0.
Переносим константу в правую часть равенства:
x² = 16
x = 4 или x = −4.
Если c < 0, корни являются вещественными.
Если c > 0, например, x² + 16 = 0, то в области действительных чисел решений не существует.
Теорема Виета
Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, позволяя определить сумму и произведение корней без вычисления дискриминанта.
Для приведённого уравнения вида x² + px + q = 0 (где a = 1):
x₁ + x₂ = −p (сумма корней);
x₁ * x₂ = q (произведение корней).
Пример:
Для уравнения x² –7x + 12 = 0 (p = −7, q = 12):
Сумма корней: x₁ + x₂ = 7; Произведение: x₁ * x₂ = 12.
Решения данного уравнения: x₁ = 3, x₂ = 4.
Проверка: 3 + 4 = 7; 3 * 4 = 12.
Обратная задача
Если известны корни x₁ и x₂, можно составить уравнение:
x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.
Например, если корни — 2 и 5:
Сумма: 2 + 5 = 7
Произведение: 2 * 5 = 10.
Уравнение: x² – 7x + 10 = 0.
Применение на практике
Этот метод позволяет быстро восстанавливать квадратное уравнение по его корням, что особенно полезно при решении задач «в уме» или при проверке правильности найденных корней. Зная корни, мы мгновенно можем определить коэффициенты уравнения, избегая сложных вычислений, связанных с дискриминантом или теоремой Виета в её прямой форме.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
