Что такое факториал и как с ним работать
Перед тем как погрузиться в схемы выбора, разберёмся с главным инструментом — факториалом. Именно с него начинаются все ключевые формулы комбинаторики.
Факториал натурального числа n (обозначается n!) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot (n − 1) \cdot n$.
Ключевые моменты:
- По определению: 0! = 1 и 1! = 1. Это важно для корректности формул.
- Как считать: 5! = 1*2*3*4*5 = 120.
- Как упрощать в дробях: основной приём при вычислениях. Например:
$\frac{10!}{8!} = \frac{(1 \cdot 2 \cdot … \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10)}{(1 \cdot 2 \cdot … \cdot 8)} = 9 * 10 = 90$.
Мы просто «сокращаем» на меньший факториал.
Теперь перейдём к логике комбинаторных задач.
Задачи на подсчёт вариантов — это не математическая викторина, а точный инженерный расчёт. Освоив базовые схемы, ты научишься разбирать любую комбинаторную задачу как конструктор. Этот материал — твой пошаговый алгоритм.
Часть 1: Базовые инструменты — два основных закона
Вся комбинаторика строится на двух принципах. Представь, что ты создаёшь объект (число, команду, расстановку).
Принцип «ИЛИ» (сложения). Используется, когда нужно сделать один выбор из нескольких независимых групп.
Практикум: В школьной столовой на обед можно взять один напиток: чай, кофе или сок. При этом чай подают в 3 видах (чёрный, зелёный, фруктовый), кофе — в 2 (с молоком, без), сок – в 4 (яблочный, апельсиновый, томатный, мультифрукт). Сколько всего вариантов выбора напитка?
Выбрать можно только что-то одно. Вариантов чая — 3, кофе — 2, сока — 4. Общее количество: 3 + 2 + 4 = 9. Это и есть правило суммы.
Принцип «И» (умножения). Используется, когда выбор состоит из нескольких последовательных шагов.
Практикум: Для входа в компьютерную систему нужен логин (3 буквы из 26) и пароль (4 цифры, не обязательно разных). Сколько существует различных учётных записей?
Создаём пару (логин И пароль). Каждую из 3 позиций логина можно заполнить 26 способами: 26 * 26 * 26. Пароль из 4 цифр: на каждую позицию по 10 вариантов: 10 * 10 * 10 * 10. Общее число комбинаций: 26³ * 10⁴ = 17576 * 10000 = 175 760 000. Это правило произведения.
Часть 2: Три основных схемы выбора
Задай себе два вопроса, и схема станет ясна:
- Используем ВСЕ доступные элементы или только часть?
- Влияет ли ПОРЯДОК их расположения на результат?
Ответы определяют формулу.
| Схема | Все элементы? | Порядок важен? | Формула (n-всего, k-выбираем) | Пример и решение |
|---|---|---|---|---|
| Перестановки (Pₙ) | ДА | ДА | $P_n = n!$ | Задача: Сколькими способами можно выстроить в очередь 4 пациентов? Решение: Используем всех 4 человек, и очередь {Иванов, Петров} ≠ {Петров, Иванов}. Это перестановки: P₄ = 4! = 24 |
| Размещения (Aₙᵏ) | нет | ДА | $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ | Задача: В конкурсе 10 участников. Сколькими способами можно присудить 1-е, 2-е и 3-е места? Решение: Выбираем и упорядочиваем 3 человека из 10. Порядок принципиален (золото vs бронза). A₁₀³ = 10*9*8 = 720. |
| Сочетания (Cₙᵏ) | нет | нет | $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ | Задача: Из отдела в 8 человек нужно выбрать 3 для совещания. Сколько возможных троек? Решение: Выбираем 3 из 8. Состав {А,Б,В} — тот же, что и {В,А,Б}. Порядок неважен. $C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = 56$. |
Важное соотношение: $A_n^k = C_n^k \cdot k!$. Сначала выбираем, какие k элементов (сочетание), затем упорядочиваем их (перестановка).
Часть 3: Разбор «проблемных» кейсов: учимся видеть хитрости
Здесь ключевую роль играет не формула, а метод.
Кейс 1: Элементы повторяются (перестановки с повторениями).
Задача: Сколько различных слов (цепочек букв) можно получить, переставляя буквы слова «КАЛАНЧА»?
Анализ: Букв 7. Буква А повторяется 3 раза, К — 2 раза, остальные по одному разу.
Стратегия: Если бы все буквы были разными, было бы 7! перестановок. Но так как перестановка одинаковых букв местами не даёт нового слова, нужно разделить на факториалы повторений.
$P(7; 3, 2) = \frac{7!}{3! \cdot 2!} = \frac{5040}{6 \cdot 2} = 420$ различных слов.
Кейс 2: Элементы должны/не должны стоять рядом.
Задача 2.1 (метод «склейки»):
Сколькими способами можно расставить 4 романа и 3 детектива на полке так, чтобы детективы стояли вместе?
- Объединим 3 детектива в один «сверхтом». Теперь расставляем 4 + 1 = 5 объектов (4 романа + 1 сверхтом) : 5! = 120 способов.
- Внутри «сверхтома» 3 детектива можно менять местами: 3! = 6 способов.
- Итог: 120 * 6 = 720.
Задача 2.2 (метод «пробелов» для разделения):
Те же 4 романа и 3 детектива нужно расставить так, чтобы детективы НЕ стояли рядом.
- Сначала расставим 4 романа. Они создают 5 пробелов: _ Р1 _ Р2 _ Р3 _ Р4 _.
- Чтобы детективы не соприкасались, нужно выбрать для них 3 места из 5 доступных пробелов. Порядок детективов важен (книги разные) → это размещение 3 позиций из 5: A₅³ = 5*4*3 = 60.
- Романы можно переставить 4! = 24 способами.
- Итог: 60 * 24 = 1440.
Кейс 3: Круговая рассадка и симметрия.
Задача: 5 гостей садятся за круглый стол. Сколько существует способов их рассадить, если два способа, отличающиеся только поворотом стола, считаются одинаковыми?
Ключевая мысль: В линейной очереди ABCDE и BCDEA — разные варианты. За кругом при вращении — это один.
Фиксируем положение одного человека (хозяина). Его место — точка отсчёта. Тогда рассадка остальных 4 гостей на оставшиеся места — линейная задача: 4! = 24.
Важно: Если это ожерелье (его можно перевернуть), то число способов будет ещё в 2 раза меньше: $\frac{(n – 1)!}{2}$.
Часть 4: Комплексные примеры
Задача 4.1 (выбор с условием).
В группе из 20 студентов, среди которых 8 отличников, нужно выбрать 5 человек для олимпиады. Сколькими способами это можно сделать, если в команде должно быть не менее трёх отличников?
Анализ: Условие «не менее трёх» означает ровно 3, или 4, или 5 отличников. Это разные, непересекающиеся случаи — применяем правило сложения.
3 отличника и 2 не-отличника:
C₈³ * C₁₂² (выбрать 3 из 8 отличников И 2 из 12 остальных).
4 отличника и 1 не-отличник: C₈⁴ * C₁₂¹.
5 отличников: C₈⁵.
Итог: (C₈³ * C₁₂²) + (C₈⁴ * C₁₂¹) + C₈⁵.
Подсчёт: (56 * 66) + (70 * 12) + 56 = 3696 + 840 + 56 = 4592.
Задача 4.2 (работа с цифрами и делимостью).
Сколько различных пятизначных чисел, начинающихся с нечётной цифры, можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 5, если цифры не повторяются?
Анализ: Цифр 5, число пятизначное → используем все. Но на первом месте не может быть 0. Условие: первая цифра нечётная → из нашего набора нечётные цифры: 3, 5.
- Выбираем первую цифру: 2 варианта (3 или 5).
- После этого осталось 4 цифры (включая 0). Их нужно расставить на оставшиеся 4 позиции — это перестановка: P₄ = 4! = 24.
- Итог по правилу умножения: 2 * 24 = 48 чисел.
Чек-лист для решения на экзамене
- Выдели объекты и действие: Что выбираем (люди, цифры, книги)? Что с ними делаем (ставим в ряд, выбираем группу)?
- Ответь на два главных вопроса: Используем всё? Порядок важен? Это определит схему (P, A, C).
- Ищи «ловушки»:
- Есть ли особые условия («рядом», «не рядом», «начинается с…», «делится на…»)?
- Есть повторения? → Перестановки с повторениями.
- Круг или цепочка? → Учёт симметрии.
- Дроби сложную задачу: Условия «хотя бы один», «не менее» часто требуют разбора случаев и правила сложения.
- Считай аккуратно: Упрощай факториалы, не спеши вычислять огромные числа.
Финальный совет: Начни с задач, где ты чётко видишь схему (P, A, C). Затем переходи к задачам с ограничениями. Когда ты начнёшь автоматически распознавать в условии «не должны стоять рядом» как сигнал к методу пробелов — тема усвоена на все 100%.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
