Метод рационализации: как решать сложные неравенства в №15 ЕГЭ за 5 минут вместо 25

Взгляни на факты: задание №15 профильного ЕГЭ (неравенства) — одно из «дорогих» во второй части. За его правильное решение дают 2 первичных балла, но средний процент выполнения редко превышает 30%. Почему? Потому что большинство тонет в гигантских цепочках преобразований, путается в знаках и ОДЗ… А есть ли способ, который превращает решение логарифмического неравенства из черновика на пол-листа в 5–6 коротких и надёжных шагов? Да, и он официально разрешён. Это метод рационализации (декомпозиции). Прочитай эту статью — и №15 станет твоим «донором» баллов, а не их поглотителем.

Из этой статьи ты узнаешь:

• Суть «математического лайфхака» — метода рационализации.
• Волшебную таблицу замен для любых сложных множителей.
• Пошаговый алгоритм, который гарантированно работает на экзамене.

Научишься решать:

• Сложные логарифмические неравенства (№15 ЕГЭ профиль).
• Показательные неравенства с переменной в степени.
• Комбинированные неравенства (логарифмы + модули, корни, дроби).

На что обратить особое внимание:

• Ловушка №1: ОДЗ (забудешь = 0 баллов за всё задание).
• Ловушка №2: переменное основание логарифма.
• Как не потерять отдельные точки в ответе.

1. Суть метода: замена сложного на простое

Попробуй решить классическое неравенство из №15:

$(x − 2) \cdot \log_{0.5}(x^2 − 5x + 6) \ge 0$.

Стандартное решение через совокупность систем займёт 15–20 минут. Метод рационализации позволяет сделать это за 3–4 минуты.

В чём секрет? Метод позволяет легально заменить сложные множители (с логарифмами, переменными в степени) на простые линейные или квадратные скобки, с которыми легко работать методом интервалов.

Аналогия: Это как взять инструкцию на японском (исходное неравенство) и запустить её через качественный переводчик (метод рационализации). Смысл остаётся тем же, а работать с ним в разы проще.

2. Волшебная таблица замен (твой главный инструмент в №15)

Вся «магия» умещается в одну компактную таблицу. Её нужно понять и запомнить.

Как пользоваться на экзамене:

1. Приведи неравенство к стандартному виду: произведение ≥ 0 (или ≤, >, <).
2. Каждый «страшный» множитель (логарифм, степень) замени по таблице.
3. Решай получившееся простое алгебраическое неравенство методом интервалов.

Рубрика: Объясняем на пальцах

Почему $\log_2 (x − 1) − \log_2 (x − 3) > 0$ превращается в $(2 − 1) \cdot ((x − 1) − (x − 3)) > 0$?

Давай рассуждать логически:

• Основание 2 > 1 — логарифмическая функция возрастает.
• Знак > для разности логарифмов означает: большему логарифму соответствует большее выражение под ним.
• То есть нужно, чтобы (x–1) > (x–3).
• Формула (a–1)(f–g) > 0 при a=2 даёт $1 \cdot ((x−1)−(x−3)) > 0$. Это ровно то же самое условие! Мы просто формализовали логическое рассуждение.

А если основание 0.5?

$log_{0.5}(x−1) − log_{0.5}(x−3) > 0$.

Основание 0.5 < 1 — функция убывает. Чтобы разность была > 0, нужно наоборот: (x–1) < (x–3). Это невозможно!

Формула даст: $(0.5−1) \cdot ((x−1)−(x−3)) > 0 → (−0.5) \cdot 2 > 0 → −1 > 0$. ЛОЖЬ. Всё сошлось! Формула автоматически учла, что основание меньше 1.

Ловушка №1: забудешь ОДЗ — получишь 0 из 2 баллов

Почему снимут баллы: в критериях ЕГЭ чётко прописано: отсутствие учёта ОДЗ (или неверный учёт) ведёт к потере баллов за всё задание, даже если алгебраическое решение идеально.

Пример из реального ЕГЭ:

Дано: $\log_3 (x + 2) \cdot (x^2 − 4) \le 0$.

Ученик решает: $(x + 2 − 1)(x^2 − 4) \le 0$ → $(x + 1)(x − 2)(x + 2) \le 0$.

Получает ответ: x ∈ (–∞; –2] ∪ [–1; 2].

Ошибка: было забыто, что x+2 > 0 (ОДЗ логарифма) → x > –2.

Правильный ответ: x ∈ [–1; 2].

Как не попасться: выписывай ОДЗ самым первым действием, до любых преобразований. На числовой прямой отмечай её отдельно.

Ловушка №2: переменное основание — нужен особый подход

Когда основание логарифма — выражение с x (например, $log_{(x–1)}$ …), нельзя применять замену сразу. Нужно:

1. Выписать условие на основание: 0 < h(x) < 1 ИЛИ h(x) > 1.
2. Рассмотреть два отдельных случая.
3. Для каждого случая решать свою систему (условие на основание + ОДЗ + рационализированное неравенство).

Мини-тест: Для неравенства с $log_{(x−2)}(x+3)$ какое ОДЗ?

Пример 1 (базовый, классика ЕГЭ)

Решите неравенство:

$(x − 5) \cdot \log_{0.2}(x − 4) \ge 0$

Шаг 1: выписываем ОДЗ (сразу же!).
Аргумент логарифма > 0: x – 4 > 0 → x > 4.

Шаг 2: приводим к виду «произведение».
Уже есть: $(x − 5) \cdot \log_{0.2}(x − 4) \ge 0$.

Шаг 3: рационализируем второй множитель.
$\log_{0.2}(x − 4)$ — это $\log_{0.2}(x − 4) − \log_{0.2}(1)$.
Заменяем по таблице: (a–1)(f–1), где a=0.2, f=x–4.
Получаем: $(0.2 − 1) \cdot ((x − 4) − 1) = (−0.8) \cdot (x − 5)$.

Шаг 4: подставляем замену в неравенство.
Исходное неравенство равносильно (при ОДЗ x>4):
$(x − 5) \cdot [(−0.8) \cdot (x − 5)] \ge 0$
Упрощаем: $−0.8 \cdot (x − 5)^2 \ge 0$.

Шаг 5: решаем простейшее неравенство.
(x–5)² всегда ≥ 0. Значит, $−0.8 \cdot (x−5)^2 ≥ 0$ только когда $(x−5)^2 = 0 → x = 5$.

Шаг 6: учитываем ОДЗ и записываем ответ.
x=5 входит в ОДЗ (5 > 4).

Ответ: x = 5.

Пример 2 (средней сложности, частый гость в №15)

Решите неравенство:

$\log_{x+1}(2x^2 + 5x + 2) \ge 1$

Шаг 1: ОДЗ (здесь важно всё).

1. Основание: x+1 > 0, x+1 ≠ 1 → x > –1, x ≠ 0.
2. Аргумент: $2x^2 + 5x + 2 > 0$.
   Решаем: $D=25−16=9$, корни $x_1 = −2$, $x_2 = –0.5$.
   Значит, $2x^2+5x+2$ > 0 при x ∈ (–∞; –2) ∪ (–0.5; +∞).
3. Общая ОДЗ: пересекаем все условия:
   $\begin{cases} x > −1 \text{ (из основания)} \\ x \neq 0 \\ x \in (−\infty; −2) \cup (−0.5; +\infty) \end{cases}$

Получаем: x ∈ (–0.5; 0) ∪ (0; +∞).

Шаг 2: переносим 1 влево и применяем рационализацию

$\log_{x+1}(2x^2 + 5x + 2) − 1 \ge 0$

Представляем 1 как $\log_{x+1}(x + 1)$:

$\log_{x+1}(2x^2 + 5x + 2) − \log_{x+1}(x + 1) \ge 0$

Теперь это разность логарифмов с переменным основанием a = x+1. Рассмотрим два случая.

Случай А: Основание > 1.

x+1 > 1 → x > 0.

Рационализация разности: (a–1)(f–g) ≥ 0, где $f = 2x^2 + 5x + 2, g = x + 1$.
Получаем: $(x + 1 − 1) \cdot (2x^2 + 5x + 2 − x − 1) \ge 0$.
$x \cdot (2x^2 + 4x + 1) \ge 0$.

Решаем неравенство (учитывая x > 0 из условия случая):
$2x^2 + 4x + 1 = 0 \to D = 16 − 8 = 8 \to x = \frac{−4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{−2 \pm \sqrt{2}}{2}$

На промежутке x > 0 выражение $2x^2 + 4x + 1 > 0$. Значит, при x>0: x * (положительное) ≥ 0 → x ≥ 0.
Учитывая условие случая x > 0, получаем: x > 0.

Случай Б: основание между 0 и 1.

0 < x+1 < 1 → –1 < x < 0.

Применяем ту же самую формулу замены (она универсальна):
$(x + 1 − 1) \cdot (2x^2 + 5x + 2 − x − 1) \ge 0$.
$x \cdot (2x^2 + 4x + 1) \ge 0$ — получили то же самое неравенство.

Теперь решаем его на промежутке –1 < x < 0:

1. Корни квадратного трёхчлена: $x = \frac{−2 \pm \sqrt{2}}{2}$.
2. На промежутке (−1; 0) выражение $2x^2 + 4x + 1$:
   • При $x \in (−1; \frac{−2 − \sqrt{2}}{2})$ — отрицательно.
   • При $x \in (\frac{−2 + \sqrt{2}}{2}; 0)$ — положительно.
3. Знак x на (−1; 0) — всегда отрицательный.
4. Составляем таблицу знаков для $x \cdot (2x^2 + 4x + 1)$ на (−1; 0):
   • $(−1; \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}): (−) \cdot (−) = (+) \to \ge 0$ ДА.
   • $(\frac{−2 + \sqrt{2}}{2}; 0): (−) \cdot (+) = (−) \to \ge 0$ НЕТ.
   • $x = \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}$ — даёт 0, входит.
5. Учитываем условие случая (−1 < x < 0): $x \in (−1; \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}]$.

Важно: проверим, входит ли этот промежуток в ОДЗ? Общая ОДЗ: $(−0.5; 0) \cup (0; +\infty)$.

$(−1; \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}] \cap \text{ОДЗ} = (−0.5; \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}]$.

Шаг 3: объединяем решения случаев и сверяем с ОДЗ.

• Из Случая А (x > 0): (0; +∞).
• Из Случая Б $(−0.5 < x \le \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}): (−0.5; \frac{−2 + \sqrt{2}}{2}]$.
• Точка x=0 не входит в ОДЗ.

Итоговый ответ: x ∈ (–0.5; $\frac{–2+\sqrt{2}}{2}$] ∪ (0; +∞).

Пример 3 (показательное, на закрепление метода)

Решите неравенство:

$(2^x − 4)(3^x − 9) ≤ 0$.

Шаг 1: анализируем структуру неравенства.

У нас уже произведение двух множителей. Оба имеют вид $a^{f(x)} – a^c$, где:

• Первый множитель: $2^x − 4 = 2^x − 2^x → a = 2, f(x) = x, c = 2$.
• Второй множитель: $3^x − 9 = 3^x − 3^x → a = 3, f(x) = x, c = 2$.

Это идеальный кандидат для метода рационализации.

Шаг 2: применяем рационализацию к каждому множителю.

По таблице: $a^{f(x)} − a^{g(x)}$ заменяем на $(a − 1)(f(x) − g(x))$.

• Для $2^x − 2^2$: заменяем на $(2 − 1)(x − 2) = 1 \cdot (x − 2)$.
• Для $3^x − 3^2$: заменяем на $(3 − 1)(x − 2) = 2 \cdot (x − 2)$.

Важно: замена равносильна при всех x, так как основания 2 и 3 положительны и не равны 1 (условия ОДЗ для показательной функции автоматически выполнены).

Шаг 3: подставляем замены в исходное неравенство.

Исходное неравенство $(2^x − 4)(3^x − 9) ≤ 0$ равносильно:
$[1 \cdot (x − 2)] \cdot [2 \cdot (x − 2)] ≤ 0$.
Упрощаем: $2 \cdot (x – 2)^2 ≤ 0$.

Шаг 4: решаем элементарное неравенство.

(x – 2)² всегда ≥ 0. Значит, $2 \cdot (x−2)^2 ≤ 0$ выполняется только тогда, когда $(x−2)^2 = 0$.
Отсюда: $x − 2 = 0 → x = 2$.

Шаг 5: проверка (формальность, но хорошая привычка).

Подставляем x = 2 в исходное неравенство:
$(2^2 − 4)(3^2 − 9) = (4−4) \cdot (9−9) = 0 \cdot 0 = 0$. Условие ≤ 0 выполнено.

Ответ: x = 2.

Вопрос 1: Реши неравенство $(x^2 − 1) \cdot log_2(x+3) ≤ 0$.

Вопрос 2: какая главная ошибка ждёт тебя в неравенстве $log_x(2−x) > 1$?

1. ОДЗ — выпиши первым делом. Для каждого логарифма/корня/дроби — свои условия.
2. Стандартный вид — перенеси всё в одну сторону, приведи к виду Произведение множителей ⋚ 0.
3. Основание постоянно? Да → сразу к шагу 4. Нет → рассматриваешь два случая (0 < a < 1 и a > 1).
4. Рационализация — каждый сложный множитель замени по таблице.
5. Решение — реши получившееся простое неравенство (квадратное, дробно-рациональное) методом интервалов.
6. Пересечение — найди пересечение решения с ОДЗ (и с условием на основание, если оно было).
7. Проверка границ — проверь, можно ли включать граничные точки (равенство нулю).
8. Чистый ответ — запиши в требуемом виде.

1. На реальном экзамене в №15 обязательно кратко пропиши ОДЗ в решении. Это даст тебе шанс на 1 балл из 2 даже при арифметической ошибке в дальнейшем.
2. Потренируйся на 10–15 неравенствах именно из сборников ЕГЭ последних лет. Цель — довести применение таблицы до автоматизма.
3. Если видишь переменное основание — мысленно похвали себя: ты знаешь, как это решать, когда большинство пасует. Спокойно разбирай два случая.

Метод рационализации — это твой ключ к уверенному решению №15. Он экономит время, снижает количество ошибок и даёт чёткий алгоритм действий в стрессовой ситуации экзамена. Удачи на ЕГЭ!