Скалярное произведение векторов

Итак, мы уже умеем умножать вектор на число, складывать и вычитать их, а что насчёт умножения и деления? Обычно они идут следом, но не тут-то было. Не будем забегать вперёд, начнём по порядку.

Пусть на плоскости есть два вектора $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$. Построим векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$ от какой-либо точки A.

$\angle BAC$ — и есть угол между векторами. И построить его можно от любой точки плоскости.

Обозначение: $\angle BAC = (\widehat{\vec{a}\vec{b}})$.

Как и любой угол на плоскости, векторы могут образовать между собой угол от 0 до 180 градусов.

Скалярным произведением векторов $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ называется число, полученное в результате перемножения длин этих векторов на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}\vec{b}})$.

В прямоугольной системе координат скалярное произведение выражается формулой:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$.

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов $\vec{a} \cdot \vec{b}$, если $\vec{a}\{8; 6\}$ и $\vec{b}\{−3; −3\}$.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов $\vec{a} \cdot \vec{b}$, если $|\vec{a}|=2, |\vec{b}| = 6\sqrt{2}$ и угол между ними $135^\circ$.

Пример 3. На рисунке изображены два вектора. Найти их скалярное произведение.

Пример 4. На рисунке изображены точки A, B, C, D.

Найти скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$.

Скалярное произведение векторов позволяет решать практические задачи на вектор: находить угол между ними и определять их взаимное расположение. Пусть на плоскости даны два вектора $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ и $(\widehat{\vec{a}\vec{b}}) = \alpha$.

1. Если необходимо найти угол между векторами, нужно выразить косинус из формулы скалярного произведения $\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ и определить значение угла.
   В координатной форме $\cos\alpha = \frac{x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$.
2. Расположение векторов относительно друг друга.
   

   Если векторы перпендикулярны, то угол между ними $90^\circ$, и так как $\cos 90^\circ = 0$, то скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Если векторы коллинеарны, то угол между ними $0^\circ$ или $180^\circ$. При значении $\alpha = 0^\circ$, векторы сонаправлены, а $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 0^\circ = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ При значении $\alpha = 180^\circ$ векторы противоположно направлены, а $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 180^\circ = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot (− 1) = − |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

   Все утверждения работают в обе стороны, так что ориентируйся на условие задания.

Пример 5. При каком значении x векторы $\vec{a}\{−10; 12\}$ и $\vec{b}\{6; x\}$ перпендикулярны?

Пример 6. Даны векторы $\vec{a}\{−1; −9\}$ $\vec{b}\{9; 5\}$ и $\vec{c}\{8; 2\}$.

Найти значение выражения $(\vec{a} − \vec{b}) \cdot \vec{c}$.

Если ты вдруг по мере изучения задумался о том, почему не назвать операцию просто «произведение векторов», то спешу тебя обрадовать: существует ещё и векторное произведение векторов. Оно имеет совершенно другой смысл, обозначение и терпеливо ждёт встречи с тобой на первом курсе университета, после успешной сдачи профиля.