Введение
В структуре практико-ориентированных заданий ЕГЭ по математике (задача № 9 профильного уровня) значительное место занимают примеры, основанные на интерпретации физических законов, представленных в виде степенных выражений. Данная категория задач направлена на проверку компетенций в области алгебраических преобразований со степенями, операций с числами в экспоненциальной форме, а также корректного применения свойств степеней и корней.
Что проверяет данное задание:
- Умение анализировать структурные формулы и выражать требуемые величины.
- Владение операциями со степенями, включая дробные и отрицательные показатели.
- Навык выполнения арифметических действий с числами в формате a×10ⁿ.
- Способность применять степенные свойства для оптимизации сложных выражений.
Разбор характерных задач и алгоритмы их выполнения
Задача 1: Расчёт температуры звезды на основе закона Стефана–Больцмана
Исходные данные:
Для вычисления эффективной температуры звёзд применяется закон Стефана–Больцмана, устанавливающий зависимость мощности излучения нагретого тела P (в ваттах) от площади поверхности S и температуры T:
P = σ × S × T⁴,
где σ = 5,7 × 10⁻⁸ Вт/(м²·К⁴) — постоянная излучения,
S — площадь поверхности (м²),
T — абсолютная температура (К).
Дано:
$S = \frac{1}{18} \times 10^{21} \text{ м}^2$.
$P = 4,104 × 10^{27} Вт.$
Найти: T.
Шаг 1. Вывод формулы для температуры:
$T^4 = \frac{P}{\sigma × S}$.
Шаг 2. Подстановка значений:
$T^4 = \frac{4,104 \times 10^{27}}{\left( 5,7 \times 10^{-8} \right) \times \left( \frac{1}{18} \times 10^{21} \right)}$.
Шаг 3. Упрощение знаменателя:
$\sigma × S = 5,7 \times 10^{-8} \times \left( \frac{1}{18} \right) \times 10^{21} = \left( \frac{5,7}{18} \right) \times 10^{13}$.
Шаг 4. Выполнение деления:
$T^4 = \frac{4,104 \times 10^{27} \times 18}{5,7 \times 10^{13}}$.
Числовой множитель:
$\frac{4,104 \times 18}{5,7} = \frac{73,872}{5,7} = 12,96$.
Степенной множитель:
$10^{27} = \frac{10^{13}}{10^{14}}$.
Результат:
$T^4 = 12,96 × 10^{14} = 1296 × 10^{12}$.
Шаг 5. Извлечение корня четвёртой степени:
$T = \sqrt[4]{1296} \times \sqrt[4]{10^{12}} = 6 \times 10^3 = 6000 \text{ K}$.
Ответ: эффективная температура звезды составляет 6000 К.
Ключевые моменты:
- При выполнении расчётов целесообразно отделять числовые коэффициенты от степеней десяти.
- При извлечении корня n-ной степени из степени aᵐ показатель делится на $n: \sqrt[n]{(a^m)} = a^{\frac{m}{n}}$.
Задача 2: Моделирование адиабатического сжатия газа
Исходные данные:
В установке для демонстрации адиабатического сжатия газа соблюдается соотношение:
p₁ × V₁¹·⁴ = p₂ × V₂¹·⁴,
где p₁, p₂ — давление (атм), V₁, V₂ — объём (л).
Дано: V₁ = 294,4 л, p₁ = 1 атм, p₂ = 128 атм.
Найти: V₂.
Шаг 1. Вывод формулы для конечного объёма:
$V_2^{1.4} = \frac{p_1 \cdot V_1^{1.4}}{p_2}$.
Шаг 2. Подстановка значений:
$V_2^{1.4} = \frac{1 \times 294,4^{1.4}}{128}$.
Шаг 3. Оптимизация через преобразование показателей:
Представим $1,4 = \frac{7}{5}, \quad \text{а } 128 = 2^7$.
$V_2 = \left( \frac{p_1}{p_2} \right)^{\frac{1}{1.4}} \times V_1 = \left( \frac{1}{128} \right)^{\frac{5}{7}} \times 294,4$.
Шаг 4. Упрощение степенного выражения:
$\left( \frac{1}{128} \right)^{\frac{5}{7}} = \left( 2^{-7} \right)^{\frac{5}{7}} = 2^{-5} = \frac{1}{32}$.
Шаг 5. Окончательный расчёт:
$V_2 = \frac{294,4}{32} = 9.2 \text{ л.}$.
Ответ: для достижения давления 128 атм газ необходимо сжать до объёма 9.2 литра.
Ключевые моменты:
- Преобразование десятичной дроби в обыкновенную $1,4 = {\frac{5}{7}}$ облегчает манипуляции со степенями.
- Свойство (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ является основным инструментом для упрощения.
Задача 3: Закономерности адиабатического процесса идеального газа
Исходные данные:
Для адиабатического процесса в идеальном газе справедливо равенство:
p × Vᵏ = const = 6,4 × 10⁶ Па·м⁵,
где $k = \frac{5}{3}$.
Дано: p = 2 × 10⁵ Па.
Найти: V.
Шаг 1. Вывод формулы для объёма:
$V^{\frac{5}{3}} = \frac{6,4 \times 10^6}{p}$.
Шаг 2. Подстановка значения давления:
$V^{\frac{5}{3}} = \frac{6,4 \times 10^6}{2 \times 10^5}$.
Шаг 3. Выполнение деления:
Числовой коэффициент:
$\frac{6,4}{2} = 3.2$.
Степенной множитель:
$\frac{10^6}{10^5} = 10^1$.
Результат:
$V^{\frac{5}{3}} = 3,2 \times 10 = 32.$.
Шаг 4. Нахождение объёма:
$V = 32^{\frac{3}{5}}$.
Шаг 5. Упрощение выражения:
Замечаем, что 32 = 2⁵, следовательно:
$V = (2^5)^{\frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)} = 2^3 = 8 \text{ м}^3$.
Ответ: при давлении 2 × 10⁵ Па газ занимает объём 8 м³.
Ключевые моменты:
- Решение требует чёткого соблюдения порядка действий: сначала деление, затем извлечение корня.
- Представление числа 32 как 2⁵ позволяет избежать громоздких вычислений с дробными степенями.
- Напоминание: $V^{\frac{5}{3}} = (V^{\frac{1}{3}})^5 = (\sqrt[3]{V})^5.$
Алгоритм решения задач на степенные преобразования
Этап 1. Алгебраическая подготовка
- Тщательно проанализируй исходную формулу.
- Вырази искомую величину в символьном виде до подстановки числовых данных.
- Упрости полученное выражение, применяя свойства степеней.
Этап 2. Числовые вычисления
- Подставь числовые значения в преобразованную формулу.
- Работай отдельно с числовыми коэффициентами и степенями десяти.
- Используй правила:
- Деление степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
- Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m × a^n = a^{m+n}$.
Этап 3. Работа с дробными и отрицательными показателями
- Дробную степень можно трактовать как корень: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{(a^m)}$.
- При извлечении корня из степени: $\sqrt[n]{(a^m)} = a^{\frac{m}{n}}$.
- Для вычислений вида ⁿ√(A × 10ᵐ) удобно представить: $\sqrt[n]{(A)} \times 10^{\frac{m}{n}}$.
Этап 4. Проверка результата
- Оцени порядок величины полученного ответа.
- Убедись, что единицы измерения согласованы (хотя в ответе они могут не требоваться).
- Проверь соответствие результата физическому смыслу задачи.
Анализ распространённых ошибок
- Нарушение последовательности операций:
Ошибка: $a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}$ без учёта приоритета операций.
Корректно: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{(a^m)} \quad \text{или} \quad a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. - Некорректные действия с показателями степени:
При умножении: показатели складываются $(a^m \times a^n = a^{m+n})$.
При делении: показатели вычитаются $\left( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \right)$.
При возведении степени в степень: показатели перемножаются $((a^m)^n = a^{m.n})$. - Ошибки в операциях с числами в экспоненциальной форме:
Коэффициенты и степени десяти необходимо обрабатывать раздельно.
При сложении/вычитании требуется приведение к общему порядку величины.
Заключение
Задачи на степенные преобразования в рамках ЕГЭ, несмотря на их кажущуюся сложность, успешно решаются при наличии системных знаний и практических навыков. Основой успеха является глубокое понимание общих принципов работы со степенями и умение адаптировать эти принципы к конкретным физическим контекстам.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
