Углы и отрезки в прямоугольном треугольнике

Пусть в ∆ ABC AB = c, AC = b, BC = a. Где AB — гипотенуза, BC и AC — катеты.

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
𝛼 + 𝛽 = 90°

2. В прямоугольном треугольнике выполняются следующие тригонометрические соотношения:

$\sin \alpha = \frac{a}{c}$

$\cos \alpha = \frac{b}{a}$

$tg \alpha = \frac{sin}{cos} = \frac{a}{b}$

$ctg \alpha = \frac{cos}{sin} = \frac{b}{a}$

3. В прямоугольном треугольнике с острыми углами 𝛼 и 𝛽 sin𝛼 = cos𝛽.

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

И наоборот: если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам.

5. Медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы.

И наоборот: если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

6. Для любого прямоугольного треугольника справедлива прямая теорема Пифагора:

$с^2 = a^2 + b^2$

И обратная теорема Пифагора: если выполняется с² = a² + b², то треугольник прямоугольный.

7. Высота, проведённая из прямого угла, делит треугольник на подобные.

Высота, проведённая из прямого угла, является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу (проекции катетов на гипотенузу).

Средним геометрическим двух чисел называется квадратный корень из их произведения.

Для прямоугольного треугольника это выглядит так:

$h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c}$

9. Катет прямоугольного треугольника является средним геометрическим гипотенузы и его проекции на неё.

$a = \sqrt{a_c \cdot c}$

$b = \sqrt{b_c \cdot c}$

Пример 1.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = √3, AB = 2. Найти sinA.

Пример 2.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 27, $/cosA = /frac {4}{9}$. Найти высоту CH.

Пример 3.

Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 87°. Найти угол между высотой CE и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ записать в градусах.

Пример 4.

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 29°. Найти больший острый угол этого треугольника. Ответ записать в градусах.

Пример 5.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A = 30°, AB = 59√3. Найти высоту CH.

Пример 6.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол B = 47°, CD — медиана. Найти угол ACD.

Пример 7.

В равнобедренной трапеции основания равны 10 см и 16 см, а высота равна 4 см. Найти боковую сторону трапеции.

Пример 8.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота. AH = 16, BH = 25. Найти высоту и стороны треугольника.

Прямоугольный треугольник, помимо задач, где он является главным объектом, нередко выступает как эффективный вспомогательный инструмент при решении заданий не только в планиметрии, но и в стереометрии. Поэтому важно знать основные сведения о нём, чтобы уверенно использовать их как в первой, так и во второй части экзамена. В этой статье мы собрали базовые свойства углов и отрезков — сохраняй, чтобы возвращаться к теории во время решения заданий!