Банк заданий
ЕГЭ по информатике Задание №15 Истинность логического выражения

Обозначим через $ДЕЛ(n, m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». Сколько существует натуральных значений $A$ на отрезке $[1;1000]$, при которых формула

$ДЕЛ(A, 12) ∧ (ДЕЛ(530, x) → (¬ДЕЛ(A, x) → ¬ДЕЛ(170, x)))$

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной $x$)?

Обозначим через $ДЕЛ(n, m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». Для какого наибольшего натурального числа $A$ формула

$((ДЕЛ(x, A) ∧ ДЕЛ(x, 37)) → ДЕЛ(x, 3737)) ∧ (A < 1000)$

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной $x$)?

Обозначим через $ДЕЛ(n, m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». Для какого наименьшего натурального числа $A$ формула

$(ДЕЛ(x, 3) → ¬ДЕЛ(x, 5)) \lor (x + A ≥ 90)$

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной $x$?

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём $P = \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$ и $Q = \{ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50\}$. Известно, что выражение

$((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∧ ((x ∈ Q) → ¬(x ∈ A))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$. Определите наибольшее возможное количество элементов множества $A$.

Определите наибольшее целое значение $A$, при котором выражение

$(2*y + 3*x ≠ 135) ∨ (y > A) ∨ (x > A)$

истинно для любых целых положительных значений $x$ и $y$.

Определите сколько всего существует натуральных чисел $R$ таких, что выражение

$(((x \& 108 = 0) \lor (x \& 60 = 0)) → (x \& A = 0)) \lor (x \& R = 0)$

тождественно истинно при любом натуральном $A$ (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной $x$ и любом натуральном значении $A$)?

Обозначим через $m \& n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$. Так, например, $14\&5=1110_{2}\&0101_2=0100_2=4$. Для какого наибольшего неотрицательного целого числа $A$ формула

$(x\&A ≠ 0) → (((x\&17 = 0) \land (x\&5 = 0))→ (x\&3 ≠ 0))$

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x$)?

Обозначим через $m \& n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$. Так, например, $14\&5=1110_{2}\&0101_2=0100_2=4$. Определите наименьшее натуральное число $A$, такое что выражение

$(x \& 107 = 0) → ((x \& 55 ≠ 0) → (x \& A ≠ 0))$

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной $x$)?

На числовой прямой даны два отрезка: $D = [17; 58]$ и $C = [29; 80]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение

$(x ∈ D) → ((¬(x ∈ C) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ D))$

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Найдите максимальное значение параметра $A$, при котором выражение

$(2*x + y ≠ 70) ∨ (x < y) ∨ (A < x)$

истинно (т.е. принимает значение 1) при любых неотрицательных значениях $x$ и $y$.

Определите количество натуральных чисел $A$ таких, что выражение

$((x \& 17 \neq 0) \to ((x \& A \neq 0) \to (x \& 58 \neq 0))) \to ((x \& 8 = 0) \land (x \& A \neq 0) \land (x \& 58 = 0))$

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной $x$).

Определите наибольшее натуральное число $A$ из интервала $[50, 120]$ такое, что выражение

$(x\&A=0) \to ((x\&31\neq0) \to (x\&35\neq0))$

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной $x$).

Определите наименьшее натуральное число $A$, такое что выражение

$(x \& 94 \neq 0) \to ((x \& 21 = 0) \to (x \& A \neq 0))$

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной $x$)?

Элементами множеств $A$, $P$, $Q$, $R$ являются натуральные числа, причём $P=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\}$, $Q=\{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30\}$, $R=\{12,24,36,48,60\}$. Известно, что выражение

$(x ∉ A) → (((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) → (x ∈ R))$

истинно (т.е. принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной $x$. Определите наименьшее возможное произведение элементов в множестве $A$.

На числовой прямой даны два отрезка: $B = [25; 40]$ и $C = [12; 33]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, что логическое выражение

$((x ∈ B) → (x ∈ A)) ∧ (¬(x ∈ C) ∨ (x ∈ A))$

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

На числовой прямой даны два отрезка: $B = [18; 52]$ и $C = [16; 41]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, что логическое выражение

$((x ∈ B) → (x ∈ A)) ∧ (¬(x ∈ C) ∨ (x ∈ A))$

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$.

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём $P = \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30\}$ и $Q = \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31\}$. Известно, что выражение

$((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∧ ((x ∈ Q) → (x ∉ A))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$. Определите наибольшее возможное количество элементов множества $A$.

Обозначим через $m \& n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$. Так, например, $14\&5=1110_{2}\&0101_2=0100_2=4$. Найдите минимальное натуральное значение параметра $A$, при котором выражение

$(x\&57\neq0) \land (x\&38\neq0) \lor (x\&9=0) \lor (x\&A=0)$

истинно при любом значении $x$.

Элементами множеств $A$, $P$ и $Q$ являются натуральные числа, причём $P = \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$ и $Q = \{ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50\}$. Известно, что выражение

$((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∧ ((x ∈ Q) → ¬(x ∈ A))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$. Определите наибольшее возможное количество элементов множества $A$.

Элементами множества $A$ являются натуральные числа. Известно, что выражение

$¬(¬(x ∈ A) ∧ (x ∈ \{3, 6, 9, 12\})) ∨ ¬(x ∈ \{1, 2, 3, 4, 5, 6\})$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$. Определите наименьшее возможное количество элементов множества $A$.

Элементами множества $A$ являются натуральные числа. Известно, что выражение

$¬(x ∈ A) →¬((x ∈ \{1, 2, 4, 8\}) ∨ (x ∈ \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$. Определите наименьшее возможное количество элементов множества $A$.

Элементами множества $A$ являются натуральные числа. Известно, что выражение

$¬(x ∈ A) → (¬(x ∈ \{1, 12\}) ∧ ¬(x ∈ \{12, 13, 14, 15, 16\}))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$. Определите наименьшее возможное количество элементов множества $A$.

Элементами множества $A$ являются натуральные числа. Известно, что выражение

$¬(x ∈ A) →(¬(x ∈ \{1, 2, 3, 4\}) ∨ ¬(x ∈ \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$. Определите наименьшее возможное количество элементов множества $A$.

Элементами множества $A$ являются натуральные числа. Известно, что выражение

$¬(x ∈ \{1, 2, 4, 8, 16\}) ∧ ¬(x ∈ \{3, 4, 9, 16\}) ∨ (x ∈ A)$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$. Определите наименьшее возможное количество элементов множества $A$.

Элементами множества $A$ являются натуральные числа. Известно, что выражение

$(x ∈ \{2, 4, 8, 12, 15\}) → (¬(x ∈ \{3, 6, 8, 15\}) ∨ (x ∈ A))$

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$. Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества $A$.