Углы повсюду
Ох уж эти углы… С самого детства они нас преследуют. Сначала нам предлагают постоять в углу и подумать о поведении, потом вручают волшебный полукруг-транспортир и просят измерять углы, а позже — искать их на чертежах, потому что они всё время теряются.
Так уж вышло, что углы — это основа геометрии, ведь именно они формируют многоугольники. Казалось бы, можно выдохнуть: теория по многоугольникам изучена, и мы переходим к окружности, у которой углов нет. Ура?
Не совсем. Математическая магия. Сегодня разберём углы в окружности. Да не простые — а золотые.
Центральный угол
В эпоху цифровых часов теряют свою популярность часы со стрелками. А зря — на них удобно объяснять и деление на пять, и движение по окружности, и, конечно, углы.
Стрелки помещены в центр окружности и совершают полный оборот на 360 градусов. В любой момент времени они образуют между собой какой-то угол. Такой угол и называется центральным — с вершиной в центре окружности.
Например, в 13:50 стрелки часов расположены вот таким образом. А какой угол они образуют?
Так как часы имеют форму окружности, полный оборот стрелок составляет 360 градусов. Получается, что минутная стрелка прошла путь в 50 минут из 60, тогда для неё внутри угла остался путь в 10 минут:
$10 \cdot \frac{360^{\circ}}{60} = 60^{\circ}$
А часовая стрелка прошла:
$30^{\circ} + 50 \cdot 0,5^{\circ} = 55^{\circ}$
Тогда между ними:
$60^{\circ} + 55^{\circ} = 115^{\circ}$
Ну а теперь перейдём к геометрии. Центральный угол всегда опирается на дугу окружности. Принято считать меньший из двух полученных углов, если иного не указано в задаче.
И главное свойство — центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Он похож на Pacman: насколько открыл свой рот, столько градусов и съест.
Вписанный угол
Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её в двух точках.
И он уже будет в два раза меньше соответствующего ему центрального угла, то есть равен половине дуги, на которую опирается.
$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cup AB$
Пример 1
Найти центральный угол AOB, если он на 29° больше вписанного угла AKB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
Вот и первый потерянный угол. Но теперь мы его легко отыщем!
Пусть центральный угол ∠AOB = 2x, тогда ∠AKB = x (как вписанный, опирающийся на ту же дугу). По условию задачи $2x = x + 29 \Rightarrow x = 29$. Тогда $\angle AOB = 2 \cdot 29 = 58$ градусов.
Ответ: 58.
Свойства центральных и вписанных углов
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда-всегда прямой.
- Если вписанный угол прямой, то он всегда-всегда опирается на диаметр.
- Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Ну логично же? Но почему-то тяжело запоминается. Поэтому визуализируем!
Горы из круглого окошка, кошачьи ушки и другие ассоциации вызывает этот рисунок к свойству. Запомни: видишь такую конструкцию — ищи равные уголки.
Все эти углы прямые, потому что опираются на полуокружность, градусная мера которой равна 180 градусам.
Если вдруг ты не видишь никаких ассоциаций, то листай в конец страницы, и все вопросы сразу пропадут! И на примерах, конечно, сейчас рассмотрим.
Пример 2
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 77°, угол CAD равен 3°. Найти угол ABC . Ответ дайте в градусах.
Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
∠DAC = ∠DBC = 3°
∠ABC = 77° + 3° = 80°
Ответ: 80.
Пример 3
В окружности с центром O проведены диаметры AB и DC . Вписанный угол ABD равен 81°. Найти центральный угол AOC. Ответ дайте в градусах.
Угол ABD — вписанный, он опирается на дугу AD. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного.
Поэтому: $\angle AOD = 2 \cdot ABD = 2 \cdot 81^{\circ} = 162^{\circ}$.
Так как DC — диаметр, значит ∠AOC + ∠AOD = ∠DOC = 180° (смежные). Тогда ∠AOC = 180° − 162° = 18°.
Ответ: 18.
Пример 4
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки K и P. Известно, что ∠ABP = 44°. Найти ∠PKB.
Так как AB — диаметр, то вписанный угол ∠APB, опирающийся на AB, равен 90°.
В треугольнике ABP: ∠PAB = 180° − 90° − 44° = 46°.
Углы PAB и PKB — вписанные и опираются на одну и ту же дугу PB. Значит, они равны.
Следовательно, PKB = 46°.
Ответ: 46.
Пример 5
Точка A лежит вне окружности, а точки B и C принадлежат окружности. Отрезок CA пересекает окружность в точке E, а отрезок BA — в точке D. Найдите угол BAC, если вписанные углы BEC и EBD опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 173° и 97°. Ответ дайте в градусах.
По свойству вписанного угла: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, $\angle BEC = \frac{1}{2} \cdot 173^{\circ} = 86,5^{\circ}$.
$\angle EBD = \frac{1}{2} \cdot 97^{\circ} = 48,5^{\circ}$.
Далее можно решить задачу двумя способами:
- В $\Delta ABE \angle BEC$ — внешний угол $\Rightarrow \angle BEC = \angle ABE + \angle EAB \Rightarrow 86,5^\circ = x^\circ + 48,5^\circ$
x = 86,5° — 48,5°
x = 38° - Используя правила для углов, образованных секущими.
Угол BAC — внешний угол между двумя секущими AB и AC, проведёнными из точки A вне окружности. Он равен половине разности дуг, «вырезаемых» этими секущими (большая дуга минус меньшая):
$\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot (\text{дуга } BC − \text{дуга } ED) = \frac{1}{2} \cdot (173^{\circ} − 97^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 76^{\circ} = 38^{\circ}$.
Ответ: 38.
«Откуда взялся второй способ?» — спросишь ты. «Из нашего дополнительного раздела», — ответим мы.
Углы, образованные секущими, касательными и хордами
- Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых внутри данного угла и угла, вертикального данному, то есть $x = \frac{\alpha + \beta}{2}$.
- Три картинки — одна формула:
- Угол между секущими, проходящими через одну точку вне окружности, равен полуразности дуг, заключённых внутри угла (то есть из большей дуги вычитаем меньшую) x=-2.
- Угол между секущей и касательной, проходящими через одну точку $x = \frac{\beta − \alpha}{2}$.
- Угол между двумя касательными, исходящими из одной точки $x = \frac{\beta − \alpha}{2}$.
Помни, что ты всегда можешь подобраться к этим уголкам через треугольники, но ведь знаний много не бывает, правда?
Итоги
Закрепим изученное:
- Углы в окружности — как квартиры в Москве: в центре в два раза дороже, чем на окраине (пояснительная бригада: вписанные углы в два раза меньше, чем центральные).
- Видишь кошачьи ушки, горный пейзаж (и прочие ассоциации) на чертеже — ищи и отмечай равные углы, которые опираются на одну дугу.
- Если угол вне окружности, его можно найти через полусумму или полуразность дуг, а можно — через любимые треугольники и их углы.
Автор:
Литвиненко Мария, учитель математики АНОО «Областная гимназия им. Е. М. Примакова
