Площади

— Как найти площадь Ленина?
— Всё просто: нужно ширину Ленина умножить на длину Ленина.

Шутка старая, но актуальности не теряет. Впрочем, посмеялись и хватит, пора поговорить серьёзно. Мы не можем утверждать, что Ленин имеет форму прямоугольника, чтобы так вычислять его площадь. Более того, он вообще не является плоской фигурой. Поэтому вспомним свойства площадей и разберёмся, что сделать с Лениным, чтобы всё-таки найти его площадь.

1. Равные фигуры имеют равные площади.

2. Если фигура составлена из нескольких фигурок, то сумма площадей этих фигурок равна площади составленной фигуры.

Под фигурой мы, конечно, подразумеваем многоугольники (потому что попробуй разрезать всё на кружочки — получится много остатков странной формы, но свойства всё равно будут работать).
Для многоугольников есть ещё одно важное свойство:

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Почему именно квадрат снова выделился и влез впереди всех? Потому что именно благодаря ему мы можем говорить об измерении площадей плоских фигур, ведь измеряются они в квадратных единицах.

Лайфхак: каждый раз, когда забываешь, как перевести одни квадратные единицы в другие, просто представляй их в виде квадрата со стороной в нужных единицах. Например, ты не помнишь: $1 м^2= ? см^2$.

Тогда $1 м^2 = 1м \cdot 1м = 100 см \cdot 100 см = 10 000 см^2$

$S = a \cdot h_a$ (1)

Обрати внимание: высоту можно провести к любой стороне, которая станет основанием для вычисления площади, при этом сама площадь не изменится.

Пример 1

Стороны параллелограмма равны 39 и 20. Высота, опущенная на большую сторону, равна 40. Найти высоту, опущенную на меньшую сторону параллелограмма.

Ещё одна формула площади параллелограмма: $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$ (2). Произведение сторон на синус угла между ними.

Обе эти формулы распространяются на всё семейство параллелограммов (подробнее о них читай в этой статье), но ещё приобретают свои индивидуальные формулы. Например, прямоугольник:

У него высота совпадает со стороной, потому формула $S = a \cdot h_a = a \cdot b$. Ну а $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha = a \cdot b \cdot \sin 90 = a \cdot b$.

Пример 2

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найти острый угол параллелограмма в градусах, если его площадь равна половине площади прямоугольника.

Для ромба продолжают работать формулы 1 и 2, но ты же помнишь, что у него много свойств с диагоналями? Через них даже площадь можно вычислять!

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

На самом деле это тоже мутация формулы площади параллелограмма $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$ (3), где $\alpha$ — угол между диагоналями параллелограмма. Но используется она не так часто, как персонально для ромба, у которого диагонали перпендикулярны.

Пример 3

Площадь ромба равна 328. Одна из его диагоналей равна 82. Найти другую диагональ.

Формулы 1, 2 превращаются в красивую и известную с детства $S = a^2$, а 3 — $s = \frac{1}{2} d^2$.

Пример 4

Найти площадь квадрата, если его диагональ равна $6\sqrt{2}$.

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где высота — расстояние между параллельными основаниями, поэтому проводить её можно из любой вершины.

Пример 5

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 150, а её площадь равна 1638. Найти периметр трапеции.

Ну и герой по количеству всевозможных способов нахождения площади — треугольник.

1. Самый популярный способ — рассмотреть треугольник как половину параллелограмма, и тогда из формулы 1 его $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$.
2. Ну а по формуле (2) $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin \alpha$, $\alpha$ — угол между сторонами a и b.
3. Формула Герона удобна, когда известны все стороны:
   $S = \sqrt{p(p − a)(p − b)(p − c)}$, где $p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр.
4. Подробнее про вписанную окружность можно почитать здесь, а пока запоминаем формулу $S = p \cdot r$, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

Пример 6

Две стороны треугольника равны 46 и 20. Высота, проведённая к большей стороне, равна 19. Чему равна высота, проведённая к меньшей стороне?

Пример 7

Периметр треугольника равен 96, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь этого треугольника.

Ещё один сюжет задач, который никак нельзя обойти стороной, — подобие и как оно преобразует площади. Как ты помнишь, подобными называются треугольники, у которых углы равны, а сходстветственные стороны пропорциональны. Число k — коэффициент пропорциональности, то есть число, показывающее, во сколько раз стороны одного треугольника отличаются от сторон другого.

А вот отношение площадей подобных треугольников равно $k^2$ — коэффициенту подобия в квадрате.

Частый сюжет в задачах связан со средней линией треугольника — отрезком, соединяющим середины двух сторон и параллельным третьей стороне. Она всегда отсекает от исходного треугольника подобный (по двум углам).

Пример 8

Площадь треугольника ABC равна 80, MN — средняя линия, параллельная стороне. Найти площадь трапеции ABNM.

Итак, теперь ты точно знаешь, что, чтобы найти площадь Ленина, тебе нужно всю его площадь разбить на простые фигурки, посчитать их площади и сложить. Так же и в любой задаче. Придерживайся правил:

1. Разбивай фигуру на более простые.
2. Всегда перед началом решения записывай формулу площади, по которой будешь вычислять её. Тогда ты наглядно увидишь, какие данные у тебя есть, а каких не хватает.
3. Часто задача может решаться несколькими способами, но в № 1 ЕГЭ обычно по данным в условии понятно, какую формулу стоит применить.
4. Не пренебрегай записью решения задачи, даже несмотря на то, что в бланк будешь записывать только ответ.