Почему призма — важная тема
Стереометрия остаётся одной из самых проблемных тем на ЕГЭ. В первой части ошибки чаще всего связаны с неверным пониманием условий про призму. Во второй — с тем, что не получается правильно построить сечение. Этот материал поможет систематизировать знания: мы шаг за шагом пройдём от простых вычислений к сложным построениям, которые встречаются на ЕГЭ.
Чему конкретно ты научишься
После прочтения ты сможешь:
- Быстро и без ошибок решать задание №3 первой части (за 3–4 минуты).
- Уверенно различать прямую и наклонную призмы.
- Избегать типичных ловушек, из‑за которых теряют баллы.
- Определять чёткий план действий для задачи №14 с развёрнутым ответом.
- На практике разобрать полноценный пример из второй части экзамена.
Какие позиции кодификатора мы закроем: уверенное выполнение №3 и понимание алгоритма для успешного решения №14.
Что такое призма простыми словами
Призма — это пространственная фигура, которую можно получить, если взять любой многоугольник, создать его точную копию, сместить эту копию параллельно в пространстве и соединить все соответственные вершины исходной фигуры и её двойника.
Основные элементы призмы:
- Два основания — те самые равные и параллельные многоугольники.
- Боковые рёбра — все отрезки, которые соединяют вершины оснований. Важное свойство: они не только параллельны, но и равны по длине.
- Высота призмы (H) — кратчайшее расстояние (перпендикуляр) между плоскостями, в которых лежат основания.
- Высота основания (h₀) — это характеристика самого многоугольника-основания (например, высота треугольника).
Важно: высота призмы и высота основания — это разные величины. Нельзя путать эти две разные высоты!
Почему объём наклонной призмы вычисляется так же, как и прямой?
Представь стопку плотно сложенных книг.
- Если стопка ровная — это аналог прямой призмы.
- Если ты аккуратно сдвинешь книги, сделав стопку скошенной, — вот тебе и наклонная призма.
Изменилось ли общее количество книг? Нет. Объём не зависит от наклона, а определяется лишь площадью одной книги (основания) и общей толщиной стопки (высотой призмы). Именно поэтому формула V = S₀ * H является абсолютно универсальной.
Базовый набор формул (для №3)
Для прямой призмы боковая поверхность — это развёртка из прямоугольников.
- Боковая поверхность: Sбок = P₀ * H.
- Как запомнить: «раскатай» боковую грань в один большой прямоугольник. Его длина — это периметр основания, а ширина — высота всей фигуры.
- Полная поверхность: Sполн = Sбок + 2 * S₀.
- Объём (основная формула): V = S₀ * H.
Практикум: решаем №3
Пример. В прямой треугольной призме длины сторон в основании — 5, 6 и 7. Высота фигуры составляет 10. Необходимо вычислить площадь её боковой поверхности.
Алгоритм твоих действий:
- Осмысление условия. Дана именно прямая призма — значит, боковые грани представляют собой прямоугольники. Ищем Sбок.
- Обращение к формуле. Подходит только одна: Sбок = P₀ * H.
- Вычисление периметра. P₀ = 5 + 6 + 7 = 18.
- Итоговый расчёт. Sбок = 18 * 10 = 180.
Ответ: 180.
Типичные ошибки и как их избежать
Ошибка №1. Неучёт специфики основания.
- Типичное условие: в правильной треугольной призме ребро основания 4, высота фигуры — 5√3. Найдите её объем.
- Ошибочный ход мысли: берётся стандартная формула площади треугольника $\frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, куда подставляются a = 4 и h = 5√3 (подмена высоты призмы высотой треугольника!).
- Как нужно действовать: прилагательное правильная означает, что в основании лежит равносторонний треугольник. Его площадь считается по особой формуле: $S_0 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$. Теперь находим объём: $V = S_0 \cdot H = 4\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = 60$.
Ошибка №2. Ошибочная интуиция о сечениях.
- В каком контексте возникает: в усложнённых заданиях, где призма может быть наклонной.
- В чём заблуждение: кажется, что если сечение перпендикулярно боковому ребру, то оно обязательно будет параллельно основанию.
- Правильный вывод: в наклонной призме боковое ребро не является перпендикуляром к основаниям. Поэтому сечение, перпендикулярное такому ребру, окажется наклонным по отношению к основанию и будет иметь другую форму. Нельзя делать поспешных выводов — всегда опирайся на точный чертёж.
Закрепление: проверь свои силы
Упражнение (уровень №3).
Дана правильная четырехугольная призма (отметим, что это не куб). Сторона её квадратного основания равна 3, а высота равна 8.
- Определи длину диагонали в основании.
- Рассчитай площадь боковой поверхности.
- Найди объём призмы.
- Диагональ квадрата в основании.
Формула диагонали квадрата: d = a√2. Подставляем: d = 3√2.
Ответ: 3√2. - Площадь боковой поверхности.
Сначала периметр квадрата: P₀ = 4 * 3 = 12.
Теперь по формуле: Sбок = P₀ * H = 12 * 8 = 96.
Ответ: 96. - Объём призмы.
Площадь основания: S₀ = 3 * 3 = 9.
Применяем основную формулу: V = S₀ * H = 9 * 8 = 72.
Ответ: 72.
Углублённый уровень: задача №14 с полным разбором
Условие.
Рассмотрим правильную треугольную призму ABCA₁B₁C₁. Все стороны её основания равны 16, а каждое боковое ребро имеет длину 11.
а) Докажите, что фигура, полученная в сечении плоскостью, которая проходит через вершины A₁, B₁ и середину ребра BC, является трапецией.
б) Вычислите площадь этого сечения.
Фундаментальный принцип геометрии: если две параллельные плоскости (основания призмы) пересекаются третьей (секущей), то линии их пересечения будут параллельными прямыми. Точка К (середина BC) находится внизу, а отрезок A₁B₁ — наверху. Следовательно, в нижнем основании через К нужно провести линию, параллельную A₁B₁.
Этап 1. Доказательство (пункт а).
- Отмечаем, что A₁B₁ || AB (свойство призмы).
- Пусть К — середина стороны BC.
- Ключевой шаг: плоскость нашего сечения пересекает параллельные плоскости. Линия пересечения с верхней плоскостью — это A₁B₁. Значит, линия пересечения с нижней плоскостью (ABC) должна быть ей параллельна и проходить через имеющуюся там точку К.
- Проводим в плоскости (ABC) через К прямую, параллельную AB. В правильном треугольнике такая прямая — средняя линия. Она пересекает AC в её середине — точке Е.
- Теперь соединяем A₁ с Е и B₁ с К. Получаем четырехугольник A₁B₁КЕ.
- В нём: A₁B₁ || КЕ (по построению). Отрезки A₁Е и B₁К не являются параллельными. Четырехугольник с одной парой параллельных сторон — это трапеция. Доказательство завершено.
Этап 2. Вычисление площади (пункт б).
Ищем площадь трапеции A₁B₁КЕ: $S = \frac{\text{основание}_1 + \text{основание}_2}{2} \cdot \text{высоту}$.
- Длины оснований:
- Верхнее основание трапеции A₁B₁ = AB = 16.
- Нижнее основание КЕ — это средняя линия треугольника ABC, поэтому $KE = \frac{AB}{2} = 8$.
- Боковые стороны (для нахождения высоты):
- B₁К — гипотенуза в прямоугольном треугольнике B₁BК (грань — прямоугольник): B₁B = 11, BК = 8. По теореме Пифагора: $B_1K = \sqrt{121 + 64} = \sqrt{185}$.
- Аналогично, A₁Е = √185 (из треугольника A₁AK).
- Важный вывод: трапеция A₁B₁КЕ — равнобедренная.
- Высота трапеции (h):
- Проведём в трапеции высоты ЕH₁ и КH₂ к большему основанию A₁B₁.
- Проекция боковой стороны на большое основание: $A_1H_1 = \frac{A_1B_1 − KE}{2} = \frac{16 − 8}{2} = 4$.
- В прямоугольном треугольнике A₁ЕH₁ известна гипотенуза A₁Е = √185 и катет A₁H₁ = 4. Находим второй катет (высоту): $h = \sqrt{(\sqrt{185})^2 − 4^2} = \sqrt{185 − 16} = \sqrt{169} = 13$.
- Финальный расчёт площади:
- $S = \frac{16 + 8}{2} \cdot 13 = 12 \cdot 13 = 156$.
Ответ для пункта б): 156.
Итоги: что нужно запомнить
Ключевые положения:
- Формула объёма V = S₀ * H — твой главный инструмент, который работает для всех типов призм.
- Формула Sбок = P₀ * H применима только к прямым призмам.
- Первый и обязательный шаг в решении — определить фигуру в основании и корректно вычислить её площадь (S₀).
- В задачах на построение сечений (№14) твой компас — правило параллельности следов пересечения.
- Площадь сечения находится через разбиение на простые планиметрические фигуры с активным использованием теоремы Пифагора.
Чек-лист самопроверки
Отметь мысленно каждый пункт:
- Я уверенно различаю прямую и наклонную призмы.
- Могу быстро и без ошибок решить задачу №3.
- Мне знакомы основные ловушки, и я знаю, как их обойти.
- Я понимаю и могу применить принцип параллельности при построении сечений.
- Умею вычислять площадь сечения, сводя пространственную задачу к плоской.
Если по всем пунктам «да», значит, тема призмы у тебя под контролем.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
