Формулировка теоремы
Теорема Птолемея гласит, что для любого выпуклого четырёхугольника, который можно вписать в окружность, произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин противоположных сторон.
Математическая запись:
Для вписанного четырёхугольника ABCD выполняется:
$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$
Где:
AC, BD — диагонали;
AB, BC, CD, AD — последовательные стороны.
Обратное утверждение: если для выпуклого четырёхугольника выполняется это равенство, то он является вписанным.
Подробное доказательство теоремы
Дано: четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
Доказательство методом подобия треугольников:
Шаг 1. Построение дополнительной точки
- На диагонали AC выберем точку E так, чтобы угол ABE был равен углу DBC.
- Это возможно, так как мы можем построить луч BE внутри угла ABC, удовлетворяющий этому условию.
Шаг 2. Первая пара подобных треугольников
Рассмотрим треугольники ABE и DBC:
- ∠ABE = ∠DBC (по построению).
- ∠BAE = ∠BDC (оба угла опираются на одну дугу BC).
Таким образом, треугольники ABE и DBC подобны по двум углам.
Из подобия следует пропорция:
$\frac{AB}{DB} = \frac{AE}{DC}$
Преобразуем:
$AB \cdot DC = AE \cdot DB$ (1)
Шаг 3. Вторая пара подобных треугольников
Теперь рассмотрим треугольники ABD и EBC:
- ∠ADB = ∠ACB (оба угла опираются на одну дугу AB).
- ∠ABD = ∠EBC (из первого подобия и свойства вписанных углов).
Следовательно, треугольники ABD и EBC подобны по двум углам.
Из подобия следует пропорция:
$\frac{AD}{EC} = \frac{BD}{BC}$
Преобразуем:
$AD \cdot BC = EC \cdot DB$ (2)
Шаг 4. Сложение полученных равенств
Сложим уравнения (1) и (2):
$AB \cdot DC + AD \cdot BC = AE \cdot DB + EC \cdot DB$;
$AB \cdot DC + AD \cdot BC = DB \cdot (AE + EC)$.
Но AE + EC = AC (точка E лежит на диагонали AC).
Поэтому:
$AB \cdot DC + AD \cdot BC = DB \cdot AC$
Или в традиционной записи:
$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$
Теорема доказана.
Практические задачи с решениями
Задача 1 (простое применение)
Условие:
В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Известно:
- AB = 3
- BC = 4
- CD = 6
- AD = 5
- BD = 7
Найти длину диагонали AC.
- Применяем теорему Птолемея:
AC × BD = AB × CD + BC × AD. - Подставляем числовые значения:
AC × 7 = 3 × 6 + 4 × 5. - Выполняем вычисления:
AC × 7 = 18 + 20;
AC × 7 = 38. - Находим AC:
AC = 38 ÷ 7 = $\frac{38}{7}$.
Ответ: $AC = \frac{38}{7}$.
Задача 2 (равнобедренная трапеция)
Условие:
Доказать, что в равнобедренной трапеции произведение длин оснований равно разности квадратов диагонали и боковой стороны:
BC × AD = AC² – AB².
- Равнобедренная трапеция является вписанной фигурой.
- Записываем теорему Птолемея для четырёхугольника ABCD:
AC × BD = AB × CD + BC × AD. - В равнобедренной трапеции:
Боковые стороны равны: AB = CD.
Диагонали равны: AC = BD. - Подставляем эти равенства:
AC × AC = AB × AB + BC × AD;
AC² = AB² + BC × AD. - Преобразуем:
BC × AD = AC² – AB².
Доказательство завершено.
Задача 3 (равносторонний треугольник)
Условие:
Равносторонний треугольник ABC описан окружностью радиуса R. На дуге BC взята точка D, делящая эту дугу в отношении 1:3 от вершины B. Найти AD.
- Рассматриваем вписанный четырёхугольник ABDC.
- По теореме Птолемея:
AD × BC = AB × DC + BD × AC. - В равностороннем треугольнике: AB = BC = AC.
- Упрощаем:
AD = BD + DC. - Определяем дуги:
– Дуга BC = 120°.
– Дуга BD = 120° × 1/4 = 30°.
– Дуга DC = 120° × 3/4 = 90°. - По теореме синусов:
BD = 2R × sin 15°.
DC = 2R × sin 45°. - Подставляем:
AD = 2R × sin 15° + 2R × sin 45° = 2R(sin 15° + sin 45°). - Упрощаем:
sin 15° + sin 45° = 2 × sin 30° × cos 15° = cos 15°;
AD = 2R × cos 15°. - $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$;
$AD = 2R \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{R(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$.
Ответ: $AD = \frac{R(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$.
Задача 4 (доказательство свойства треугольника)
Условие:
В треугольнике ABC сторона BC равна половине суммы AB и AC. Доказать, что биссектриса угла A перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей.
- Пусть D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью.
- Четырёхугольник ABDC вписанный, применяем теорему Птолемея:
AD × BC = AB × CD + AC × BD. - BD = CD как хорды, стягивающие равные дуги и $BC = \frac{AB + AC}{2}$ по условию.
- Подставляем:
$AD \cdot \frac{AB + AC}{2} = AB \cdot BD + AC \cdot BD = BD \cdot (AB + AC)$;
$AD = 2 \cdot BD$. - Центр вписанной окружности L лежит на биссектрисе AD.
- Легко показать, что LD = BD.
- Следовательно, L — середина отрезка AD.
- Отрезок, соединяющий центры окружностей, является серединным перпендикуляром к AD.
Доказательство завершено.
Особенности применения теоремы
Когда использовать теорему Птолемея:
- В задаче есть вписанный четырёхугольник.
- Требуется найти связь между сторонами и диагоналями.
- Задача содержит элементы, связанные с описанной окружностью.
Типичные ошибки:
- Применение теоремы к невписанному четырёхугольнику.
- Неправильное определение, какие отрезки являются диагоналями.
- Путаница в порядке следования сторон.
Полезные комбинации:
- Теорема Птолемея + теорема синусов.
- Теорема Птолемея + теорема косинусов.
- Теорема Птолемея + свойства биссектрис.
Заключение
Теорема Птолемея является мощным инструментом решения планиметрических задач. Умение её применять значительно расширяет возможности при решении задач повышенной сложности на ЕГЭ и олимпиадах по математике. Рекомендуется запомнить не только формулировку теоремы, но и её доказательство, так как это помогает лучше понять условия её применения.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
