Треугольник и его элементы

Треугольник — многоугольник с тремя вершинами (и тремя сторонами). Но именно этот минимальный многоугольник открыл в своё время для тебя целый геометрический мир. Сейчас мы повторим всё-всё, что о нём знаем и, конечно, полюбуемся на этого красавца в задачах первой части профильного ЕГЭ.

Сумма углов в любом треугольнике 180 градусов.

Внешний угол — угол, смежный с его внутренним углом и равный сумме двух несмежных с ним углов.

⦣4 = ⦣1 + ⦣2

Биссектриса

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника (делит угол пополам), соединяющий вершину с точкой противоположной стороны.

Это знают все, но часто забываются красивые свойства биссектрисы:

1. Все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла: то есть если из некоторой точки на стороны опустить перпендикуляры, то их длины будут равны. Верно и обратное утверждение: если точка равноудалена от сторон угла, то она 100% лежит на биссектрисе.

2. Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, пропорционально двум другим сторонам треугольника.

3. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника образуют угол 90 градусов (это следует из смежности данных углов). ⦣MCK—прямой.

4. Биссектрис у треугольника три. И все три биссектрисы пересекаются в одной точке внутри треугольника.

5. Собирая воедино 1-е и 4-е свойства, оказывается, что точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника и является центром вписанной в него окружности.

Медиана

Если биссектрису все легко запоминают, то вот с появлением медианы уже начинается путаница. Запоминаем: medium — средний, middle — середина, медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

2. Медиан у треугольника также три, и все три они пересекаются в одной точке.

3. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Обрати внимание: вся медиана составляет три части $\frac{AA_1}{OA_1} = \frac{3}{1}$

$\frac{AO}{OA_1} = \frac{BO}{OB_1} = \frac{CO}{OC_1} = \frac{2}{1}$

Высота

h — именно так обозначается чаще всего высота и схематично даже похожа на неё. Высота в треугольнике — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Почему не к стороне, как предыдущие отрезки? Скажем спасибо тупоугольному треугольнику за это. Дело в том, что высоты, опущенные из острых углов данного треугольника просто не могут лежать во внутренней части, потому что это противоречит теореме о сумме углов треугольника. Но высота есть, просто находится «снаружи». А чтобы её построить, необходимо продлить противоположную сторону и опустить на неё перпендикуляр из вершины.

1. Высот у любого треугольника также три. И все они (ну или их продолжения) пересекаются в одной точке. H—точка пересечения высот.

2. Назовём это свойство «создаёт прямоугольный треугольник». Если не знаешь, что делать в задаче — строй высоту и работай с полученным треугольником, часто это добавляет много полезной информации.
3. Если построить две высоты в треугольнике, то выполняется следующее:
   • Через точки AC1A1C можно провести окружность. Причём AC — диаметр окружности.

• • Образуются подобные треугольники. Обрати внимание: равенство углов следует не из параллельности сторон A1C1 и AC, а из свойства выше, про существование окружности.

Серединный перпендикуляр

Факт №0. Самый важный. Это не медиана и не высота.

Серединный перпендикуляр — перпендикуляр, проведённый через середину стороны треугольника. Он особенный, потому что строится не из вершины треугольника.

1. Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

   Это значит, что если вдруг у тебя в задаче попался серединный перпендикуляр, то первое, что ты делаешь — проводишь отрезки к вершинам-концам отрезка и отмечаешь, что они равны.

2. Не поверишь, но их тоже у треугольника три. И да, они тоже все пересекаются в одной точке. Более того (см. свойство 3).

3. Точка пересечения серединных перпендикуляров — центр описанной окружности треугольника. Что также логично, если собрать воедино первые два свойства.

Запоминаем как таблицу умножения:

1. Точка пересечения биссектрис — центр вписанной окружности.
2. Точка пересечения медиан — центроид — деление в отношении 2:1.
3. Точка пересечения высот — ортоцентр.
4. Точка пересечения серединных перпендикуляров — центр описанной окружности.

Классифицируют треугольники обычно относительно углов: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный или равенства сторон: произвольный (три стороны разные), равнобедренный (две стороны равны) и равносторонний (три стороны равны).

Самые выделяющиеся из них это прямоугольный (про него можно подробнее почитать тут) и равнобедренный.

У равнобедренного треугольника равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основание.

1. Углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике, если из вершины опустить биссектрису к основанию, то она также будет являться высотой, медианой и, логично, серединным перпендикуляром. То есть все четыре элемента совпадают.
   

   AH — биссектриса, медиана, высота, серединный перпендикуляр.

   Обрати внимание: это касается только отрезка, построенного к основанию, но не к боковым сторонам. Для них это снова четыре разных отрезка.

3. Если основание равно боковой стороне, то треугольник называется равносторонним или «правильным», у него все углы также равны и составляют по 60 градусов.

Пример 1. Углы треугольника относятся как 3:2:5. Найти меньший из них. Ответ дать в градусах.

Пример 2. В треугольнике ABC угол C равен 54°, AD и BE  — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найти угол AOB. Ответ дать в градусах.

Пример 3. В треугольнике ABC CH — высота, AL — биссектриса, K — точка пересечения прямых CH и AL, угол BAC равен 36°. Найти угол AKC. Ответ дать в градусах.

Пример 4. В треугольнике ABC угол A равен 109°, угол C равен 4°. На продолжении стороны AB за точку B отложен отрезок BK, равный стороне BC. Найти угол K треугольника BCK. Ответ дать в градусах.

Пример 5. В треугольнике ABC угол A равен 55°, угол B равен 75°, CT — биссектриса внешнего угла при вершине C, причём точка T лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка D, что CD = CB. Найти угол BTD. Ответ дать в градусах.

Пример 6. Два угла треугольника равны 132° и 47°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника (или их продолжения), выходящие из вершин этих углов. Ответ дать в градусах.

Пример 7. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB = AD = CD Найти меньший угол треугольника ABC. Ответ дать в градусах.

Пример 8. В треугольнике ABC AC = BC, высота BH равна 2, угол C равен 45 градусам. Найти BC.

Задач, посвящённых треугольникам очень-очень много. Они встречаются в чистом виде, а также как элементы четырёхугольников. Не забывай основные свойства и замечательные отрезки и точки в треугольниках. Всегда при встрече терминов используй их смысл и наноси на рисунок: есть биссектриса? Отмечаем равные углы. Медиана? Ставим отметки, что отрезок пополам поделился. И помни, треугольник — твой лучший друг и помощник в решении даже самых сложных планиметрических задач и вся эта информация будет тебе полезна даже в 17-м номере экзамена.