Тригонометрия в треугольнике

Прямоугольный треугольник — один из самых древних математических инструментов, решающих множество практических задач. Сколько же интересного можно в нём увидеть! Нам повезло, что мы можем решать задачи любого уровня сложности, используя его в качестве надёжного помощника.

Рассмотрим некий прямоугольный треугольник, который состоит из двух катетов, гипотенузы, одного прямого и двух острых углов.

А теперь возьмём и посчитаем все возможные отношения сторон друг к другу относительно углов и заметим, что для постоянной градусной меры эти отношения всегда принимают одно и то же значение независимо от величины сторон! Например, пусть ㄥА = 30°, тогда при любых AB, AC и BC:

• $\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$
• $\frac{AB}{BC} = \sqrt{3}$
• $\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Невероятно, но факт. И каждому из этих отношений дадим название.

Пусть для острого угла $\alpha$ в $\Delta ABC$ AB = c, AC = b, BC = a. Где AB — гипотенуза, BC — противолежащий $\angle \alpha$ катет, а AC — прилежащий катет.

Тогда:

Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin \alpha = \frac{a}{c}$.

Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos \alpha = \frac{b}{c}$.

Тангенсом острого угла называется отношение синуса к косинусу, из чего следует, что это отношение противолежащего катета к прилежащему:
$tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{a}{b}$.

Котангенсом острого угла называется отношение косинуса к синусу, из чего следует, что это отношение прилежащего катета к противолежащему:
$ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{b}{a}$.

А теперь задумаемся: а только ли для острых углов можно вычислять данные отношения? Несколько веков назад над этим вопросом размышляли величайшие умы и придумали потрясающую модель — тригонометрическую окружность. Так как сегодня мы говорим о треугольниках, в которых углы измеряются от 0 до 180 градусов, то рассмотрим её половину — единичную полуокружность.

Почему именно единичную? Потому что так удобно. Точно так же как и в текстовых задачах, когда мы иногда принимаем путь или объём работы за единицу (целое) для удобства вычислений. Поэтому рассмотрим полуокружность с центром в начале системы координат и радиусом, равным единичке. Отправим по ней «бегать» точку М и остановим в произвольный момент. А теперь рассмотрим нашу точку М именно в системе координат M(x;y). И после несложных рассуждений выясним, что отрезки проекций данной точки на оси координат равны $OD = x = \cos \alpha$ , $MD = y = \sin \alpha$.

Точка может находиться также во второй четверти системы координат. Выполнить построение с помощью проекций мы сможем и в этом случае, поэтому для любого угла $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ синусом называется ордината точки M, а косинусом — абсцисса точки M. А так как координаты полуокружности находятся в диапазоне $−1 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$, то для углов треугольника справедливы равенства $−1 \le \cos \alpha \le 1, 0 \le \sin \alpha \le 1$.

По теореме Пифагора и с учётом информации выше мы получаем ОТТ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Благодаря ему мы можем связывать отношения между собой и выражать их друг через друга.

Пример 1. В треугольнике TKS угол S равен 90°, TS = 35, tg T = 1,4. Найдите KS.

Пример 2. В треугольнике TAK угол K равен 90°, AK = $\sqrt{51}$, TA = 10. Найти cos T.

Пример 3. В треугольнике CAS угол A равен 90°, CA = 7,2, sin⁡ C = 0,6. Найти CS.

А что делать, если нужно вычислить значение тригонометрического отношения не в прямоугольном треугольнике? Есть несколько приёмов, которые ты можешь применить:

1. Воспользоваться формулами приведения и выразить необходимое значение для любого угла $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$:
   

   $\sin(180 − \alpha) = \sin \alpha$;
   $\cos(180 − \alpha) = − \cos \alpha$;
   $\sin(90 − \alpha) = \cos \alpha$;
   $\cos(90 − \alpha) = \sin \alpha$.

2. Опустить высоту и работать с получившимися прямоугольными треугольниками.

Пример 4. В тупоугольном треугольнике BAZ BZ = AZ = 100, BP — высота, ZP = 8. Найдите cos BZA. 

Иногда в задачах приходится работать с тригонометрическими соотношениями как с инструментом, помогающим найти неизвестный элемент.

Пример 5. В треугольнике NCO угол O равен 90°, NC = 20, tg N = $\frac{4}{3}$. Найти CO.

Существует множество задач и идей, в которых используются тригонометрические соотношения. Запомни важные моменты:

1. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы равных углов равны.
2. В прямоугольном треугольнике с острыми углами $\alpha$ и $\beta$.

При решении используй базовую таблицу значений для углов 30, 45 и 60 градусов, которую можно легко запомнить с помощью простого алгоритма записи (если ты ещё не знаешь его, то скорее присоединяйся к курсу по математике). А ещё — всегда выполняй построение треугольника и не забывай проверять, все ли элементы находятся на своих местах и соответствуют условию задачи.