О чём эта статья
Каждый, кто решал варианты профильного ЕГЭ, замечал: в задании № 3 часто встречаются сразу две фигуры, причём одна из них расположена внутри другой. Это могут быть цилиндр и шар, конус и цилиндр или, например, параллелепипед, внутри которого спрятан цилиндр.
Мы разберём все возможные варианты таких «матрёшек»:
- сфера внутри цилиндра и наоборот;
- конус, который поместили в цилиндр;
- конус, который заключили в сферу;
- призма, вписанная в цилиндр;
- цилиндр, упакованный в коробку-параллелепипед;
- шар, который идеально вписался в куб.
После прочтения ты научишься видеть закономерности и будешь получать красивые правильные ответы.
Пять основных комбинаций, которые надо знать
Комбинация 1. Сфера и цилиндр
Когда сфера оказывается внутри цилиндра и прикасается к его дну, крышке и стенкам, между ними возникает жёсткая связь: высота цилиндра строго равна двум радиусам сферы. Запомни как таблицу умножения: H = 2R.
Если же цилиндр, наоборот, находится внутри сферы (сфера описана), то центр сферы лежит ровно посередине высоты цилиндра. Радиус сферы можно найти через теорему Пифагора, если мысленно разрезать конструкцию вдоль оси.
Комбинация 2. Конус внутри цилиндра
Представь, что в стакан (цилиндр) поставили рожок мороженого (конус) так, что их донышки совпадают, а острая вершина конуса упирается точно в центр верхней крышки стакана. Высоты у них одинаковые.
Здесь работает простое правило объёма: цилиндр вмещает в себя ровно три таких конуса. То есть $V_{\text{цилиндра}} = 3 \cdot V_{\text{конуса}}$.
Комбинация 3. Конус внутри сферы
Это одна из самых красивых комбинаций. Конус может быть вписан в шар двумя способами:
- Особый случай: основание конуса проходит через центр шара. Тогда радиус основания конуса и его высота равны радиусу шара.
- Общий случай: конус просто касается сферы вершиной и основанием. Тогда в осевом сечении мы видим треугольник, вокруг которого описана окружность. Радиус этой окружности — это и есть радиус сферы.
В общем случае удобно использовать формулу радиуса описанной окружности для треугольника или решать систему через теорему Пифагора.
Комбинация 4. Призма внутри цилиндра
Когда говорят, что призма вписана в цилиндр, это значит, что основания призмы лежат в основаниях цилиндра, а боковые рёбра призмы параллельны оси цилиндра.
Ключевой момент: в основания цилиндра (круги) должны быть вписаны основания призмы.
- Если призма правильная четырёхугольная (в основании квадрат), то сторона квадрата связана с радиусом цилиндра формулой: a = R√2.
- Если призма правильная треугольная, то сторона треугольника связана с радиусом: a = R√3.
- Если призма правильная шестиугольная, то сторона шестиугольника равна радиусу: a = R.
Высота призмы всегда равна высоте цилиндра, так как основания совпадают.
Комбинация 5. Цилиндр в прямоугольной коробке
Когда говорят, что прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, это значит, что цилиндр стоит внутри и касается всех четырёх боковых стенок. Важный вывод: в основании параллелепипеда лежит не просто прямоугольник, а именно квадрат. Почему? Потому что только в квадрат можно вписать круг так, чтобы он касался всех сторон.
Сторона этого квадрата равна диаметру цилиндра (2R). Высота коробки совпадает с высотой цилиндра.
Комбинация 6. Шар в кубе
Здесь нужно запомнить железное правило: вписать сферу можно только в куб. Никакой другой прямоугольный параллелепипед для этого не подойдёт — только фигура с равными рёбрами.
Диаметр вписанного шара равен ребру куба. То есть если знаешь радиус шара, просто умножай его на два — это и будет сторона куба.
Если же шар описан вокруг куба (куб внутри сферы), то диаметр сферы равен диагонали куба. Диагональ куба считается по формуле a√3.
Универсальный метод решения: разрезаем и смотрим
Любую объёмную задачу можно превратить в плоскую, если сделать правильный разрез. Мысленно рассеки фигуру плоскостью, проходящей через её ось. Что увидишь?
- Цилиндр превратится в обычный прямоугольник.
- Конус станет треугольником.
- Шар даст круг.
- Призма в разрезе даст многоугольник.
Для призмы, вписанной в цилиндр, особенно полезен вид сверху: там ты увидишь круг, в который вписан многоугольник — квадрат, треугольник или шестиугольник. Дальше работаешь с этими плоскими фигурами: применяешь теорему Пифагора, формулу площади треугольника или свойства вписанных окружностей. Объёмная задача исчезает, остаётся простая планиметрия.
Шпаргалка с формулами
Держи под рукой основные соотношения:
- Для сферы в цилиндре: высота цилиндра = 2 × радиус сферы.
- Для сферы вокруг цилиндра: (радиус сферы)² = (радиус цилиндра)² + (половина высоты цилиндра)².
- Для конуса в цилиндре: объём цилиндра = 3 × объём конуса.
- Для призмы в цилиндре (квадрат): сторона квадрата = R√2.
- Для призмы в цилиндре (треугольник): сторона треугольника = R√3.
- Для призмы в цилиндре (шестиугольник): сторона шестиугольника = R.
- Для цилиндра в параллелепипеде: сторона квадрата в основании = 2 × радиус цилиндра.
- Для шара в кубе: ребро куба = 2 × радиус шара.
- Для шара вокруг куба: ребро куба = (2 × радиус шара) / √3.
- Для конуса в шаре (частный случай): радиус шара = радиус конуса = высота конуса.
Практическая часть: разбираем задачи пошагово
Секция 1. Цилиндр и сфера
Задача 1
Сфера объёмом 24 помещена внутрь цилиндра так, что касается всех его внутренних поверхностей. Найди объём цилиндра.
Как решать
Раз сфера касается оснований, то H = 2r, где r — радиус сферы. Радиус основания цилиндра тоже r.
Объём цилиндра: $V_{\text{цил}} = \pi r^2 \cdot H = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$.
Объём сферы: $V_{\text{сф}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = 24$. Отсюда $\pi r^3 = 24 \cdot \frac{3}{4} = 18$.
Подставляем: $V_{\text{цил}} = 2 \cdot 18 = 36$.
Ответ: 36.
Задача 2
Площадь внешней оболочки сферы, вписанной в цилиндр, составляет 111. Вычисли площадь полной поверхности цилиндра.
Площадь сферы: $S_{\text{сф}} = 4\pi r^2 = 111 \to \pi r^2 = 27,75$.
Для цилиндра с H = 2r полная поверхность: $S_{\text{цил}} = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot 2r = 6\pi r^2 = 6 \cdot 27,75 = 166,5$.
Ответ: 166,5.
Секция 2. Конус и цилиндр
Задача 3
У конуса и цилиндра совпадают основания и высоты. Объём конуса известен и равен 25. Рассчитай объём цилиндра.
$V_{\text{цил}} = 3 \cdot 25 = 75$.
Ответ: 75.
Задача 4
Конус спрятан внутри цилиндра. Высота конуса оказалась равной радиусу основания цилиндра. При этом объём конуса составляет 9. Определи объём цилиндра.
Обозначим радиус R, высоту H. По условию H = R.
$V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3}\pi R^3 = 9 \to \pi R^3 = 27$.
$V_{\text{цил}} = \pi R^2 \cdot R = \pi R^3 = 27$.
Ответ: 27.
Секция 3. Конус внутри сферы
Задача 5
Конус вписан в сферу так, что его основание проходит через центр сферы. Радиус сферы равен 3. Найди объём конуса, делённый на π.
Если основание проходит через центр, то радиус конуса равен радиусу сферы (3), а высота конуса тоже равна радиусу сферы (3).
$V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3 = 9\pi$, делим на π = 9.
Ответ: 9.
Задача 6
Вокруг конуса описали сферу. Радиус дна конуса равен 6, а его высота составляет 8. Вычисли радиус сферы.
Сначала найдём образующую: $l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
В осевом сечении имеем треугольник со сторонами 10, 10 и основанием 12. Высота треугольника 8.
Радиус описанной окружности для треугольника: $R_{\text{сф}} = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot S}$, где S — площадь.
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$.
$R_{\text{сф}} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = \frac{1200}{192} = 6,25$.
Ответ: 6,25.
Секция 4. Призма внутри цилиндра
Задача 7
Правильная четырёхугольная призма вписана в цилиндр. Радиус основания цилиндра равен 4, а высота цилиндра равна 5. Найди объём призмы.
В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат. Раз призма вписана в цилиндр, вершины квадрата лежат на окружности основания цилиндра.
Сторона квадрата, вписанного в окружность радиуса R, равна R√2.
a = 4√2.
Площадь основания призмы: $S_{\text{осн}} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.
Высота призмы равна высоте цилиндра: h = 5.
Объём призмы: $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 32 \cdot 5 = 160$.
Ответ: 160.
Секция 5. Цилиндр в параллелепипеде
Задача 8
Прямоугольный параллелепипед облегает цилиндр снаружи. Радиус дна цилиндра и его высота одинаковы и равны 3. Найди объём параллелепипеда.
В основании параллелепипеда — квадрат. Его сторона равна диаметру цилиндра: a = 2 × 3 = 6.
Высота параллелепипеда совпадает с высотой цилиндра: h = 3.
V = 6 × 6 × 3 = 108.
Ответ: 108.
Секция 6. Шар в кубе
Напоминание: шар можно вписать только в куб.
Задача 9
Сфера объёмом 6π вписана в куб. Найди объём этого куба.
$V_{\text{сф}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = 6\pi \to \frac{4}{3}r^3 = 6 \to r^3 = 6 \cdot \frac{3}{4} = 4,5$.
Ребро куба a = 2r. $V_{\text{куба}} = a^3 = (2r)^3 = 8r^3 = 8 \cdot 4,5 = 36$.
Ответ: 36.
Задача 10
Вокруг сферы радиуса 10 описан прямоугольный параллелепипед. Вычисли его объём.
Раз сферу можно вписать, параллелепипед — это куб. Ребро a = 2 × 10 = 20. V = 20³ = 8000.
Ответ: 8000.
Задача 11
Объём куба, описанного вокруг сферы, равен 64. Чему равен радиус сферы?
Ребро куба: $a = \sqrt[3]{64} = 4$. Радиус сферы: $r = \frac{a}{2} = 2$.
Ответ: 2.
Где чаще всего ошибаются
Ошибка первая: путают, где чей радиус
В задачах с описанным цилиндром вокруг шара некоторые думают, что радиус цилиндра равен радиусу шара. Это верно. Но высоту цилиндра забывают удваивать.
Ошибка вторая: пытаются вписать шар в произвольный параллелепипед
Запомни раз и навсегда: шар влезает только в куб. Если в условии сказано «прямоугольный параллелепипед описан около сферы», значит, этот параллелепипед автоматически становится кубом.
Ошибка третья: игнорируют чертёж
Попытка решить пространственную задачу в уме без рисунка — верный путь к потере баллов. Даже схематичный набросок осевого сечения проясняет ситуацию на 90%.
Итог: что ты теперь умеешь
После изучения материала ты:
- Свободно ориентируешься в пяти типах комбинаций: сфера и цилиндр, конус и цилиндр, конус и сфера, цилиндр и параллелепипед, шар и куб.
- Знаешь наизусть ключевые соотношения вроде $H = 2R$ или $V_{\text{цил}} = 3V_{\text{кон}}$.
- Умеешь сводить объёмную задачу к плоскому сечению.
- Можешь решить 14 типовых заданий и получить за них максимальный балл.
Главное — не паниковать, увидев незнакомую комбинацию. Любая конструкция раскладывается на простые элементы. Рисуй сечение, ищи треугольник, применяй теорему Пифагора — и правильный ответ обязательно найдётся!
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
