Ключевые факты о медианах и биссектрисах в задачах планиметрии

Медиана — линия, которая соединяет вершину треугольника с центром стороны напротив.

Биссектриса — линия, которая делит угол фигуры на две равные части.

1. Основное правило для внутренней биссектрисы

Биссектриса угла в треугольнике разделяет противоположную сторону на части, которые соотносятся так же, как и соседние стороны.

Соотношение:

$\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$, где AL — биссектриса угла.

Разбор примера:

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Известно: AB = 8, AC = 12.
Определить отношение BL:LC.

Решение:

$\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

2. Особенность биссектрисы внешнего угла

Если продлить сторону треугольника и провести биссектрису внешнего угла, точка её пересечения с продолжением противоположной стороны будет делить отрезок пропорционально боковым сторонам.

Соотношение:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Разбор примера:

В треугольнике EFG: EF = 4, EG = 10, FG = 7. Биссектриса внешнего угла при E встречает продолжение FG в точке K. Найти FK.

Решение:

$\frac{FK}{KG} = \frac{EF}{EG} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Обозначим FK = t. Так как EF < EG, точка K расположена на продолжении за F, поэтому KG = FG + FK = 7 + t.
Составляем уравнение: $\frac{t}{7+t} = \frac{2}{5}$.
После преобразований: 5t = 14 + 2t, 3t = 14, t = $\frac{14}{3}$.

$FK = t = \frac{14}{3}$

3. Соотношение площадей

Биссектриса разделяет треугольник на две фигуры, площади которых относятся как длины прилегающих к вершине сторон.

Соотношение:

$\frac{S_{ABL}}{S_{ALC}} = \frac{AB}{AC}$

Разбор примера:

Известно, что биссектриса AL делит площадь треугольника ABC в пропорции 4:7.
Определить AB:AC.

Решение:

$\frac{S_{ABL}}{S_{ALC}} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{7}$

1. Главное свойство медианы

Медиана разделяет треугольник на две фигуры с одинаковой площадью.

Разбор примера:

В треугольнике XYZ проведена медиана YW к стороне XZ.
Показать, что $S_{XYW} = S_{ZYW}$.

Объяснение:

У треугольников XYW и ZYW ощая высота, опущенная из Y, и равные основания XW и WZ (поскольку W — середина). Следовательно, их площади равны.

2. Расчёт длины медианы

Длину медианы можно вычислить, зная длины всех сторон фигуры.

Формула:

$m_a = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2b^2 + 2c^2 − a^2}$, где $m_a$ — медиана к стороне a.

Разбор примера:

В треугольнике PQR: PQ = 5, PR = 8, QR = 7.
Вычислить длину медианы PM.

Решение:

$m = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 5^2 − 7^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{128 + 50 − 49} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{129} = \frac{\sqrt{129}}{2}$

3. Центр пересечения медиан

Все три медианы пересекаются в одной точке — центре тяжести. Эта точка делит каждую медиану в пропорции 2:1 от вершины.

Соотношение:

$AO:OA_1$ = 2:1, где O — точка пересечения, $A_1$ — середина стороны.

Разбор примера:

В треугольнике KLM медианы пересекаются в точке O.
Определить, какую часть от всей площади составляет $S_{KOL}$.

Объяснение:

Медианы делят треугольник на 6 одинаковых по площади частей. Фигура KOL состоит из двух таких частей, а весь треугольник — из шести. Значит, $\frac{S_{KOL}}{S_{KLM}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

1. Взаимодействие биссектрисы и подобия

В треугольнике ABC отмечена точка D на BC так, что AB = BD. BF — биссектриса угла ABC. Из C на AD опущен перпендикуляр CK. Доказать равенство отношений: AB:BC = AE:EK (где E — точка пересечения BF и AD).

Ход решения:

Согласно свойству биссектрисы, $\frac{AB}{BC} = \frac{AF}{FC}$.

Треугольник ABD равнобедренный, поэтому BF в нём является и высотой, и медианой, то есть BE ⟂ AD.
В треугольниках AEF и AKC угол A общий, а углы AEF и AKC прямые (по построению). Значит, эти треугольники подобны.
Из подобия получаем: $\frac{AE}{AK} = \frac{AF}{AC}$, что равносильно $\frac{AE}{EK} = \frac{AF}{FC}$. Сопоставляя с первым равенством, приходим к требуемому: $\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EK}$.

2. Биссектриса и параллельные прямые

Точка D отмечена на продолжении AC за A так, что AD = AB. Через A проведена прямая, параллельная BD, которая пересекает BC в M.

а) Установить, что AM — биссектриса.
б) Вычислить $S_{DAMB}$, если AC = 30, BC = 18, AB = 24.

Решение части а):

AD = AB, значит, треугольник ABD равнобедренный, и ∠ABD = ∠ADB. Поскольку AM || BD, то ∠BAM = ∠ABD (как накрест лежащие) и ∠CAM = ∠ADB (как соответственные). Получаем цепочку: ∠BAM = ∠ABD = ∠ADB = ∠CAM. Таким образом, ∠BAM = ∠CAM, и AM действительно является биссектрисой.

Решение части б):

Проверим треугольник ABC:

24² + 18² = 576+324=900, 30² = 900.

Это прямоугольный треугольник с гипотенузой AC. Для биссектрисы AM справедливо:

$\frac{CM}{MB} = \frac{AC}{AB} = \frac{30}{24} = \frac{5}{4}$

Пусть CM = 5k, MB = 4k, тогда BC = 9k = 18, откуда k = 2. Получаем CM = 10, MB = 8.

Площадь AMB: $\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 8 = 96$.

Для треугольника DAB: стороны AD = AB = 24, угол DAB смежен с углом CAB, поэтому $\sin(\angle DAB) = \sin(\angle CAB) = \frac{BC}{AC} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$.

Площадь DAB: $\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 24 \cdot \frac{3}{5} = 288 \cdot \frac{3}{5} = 172.8$.

Общая площадь фигуры: 96+172,8 = 268,8.

Ответ: 268,8.

3. Медианы катетов и высота в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C — прямой) M и N — середины катетов AC и BC соответственно, CH — высота. Установить, что MH ⟂ NH.

Ход доказательства:

Рассмотрим прямоугольные треугольники AHC и BHC. В треугольнике AHC медиана HM, проведённая из прямого угла H, равна половине гипотенузы AC:

$HM = \frac{AC}{2} = AM = MC$

Аналогично в треугольнике BHC:

$HN = \frac{BC}{2} = CN = NB$

Теперь обратимся к треугольникам MCN и MHN. В них: MC = MH, CN = NH, а сторона MN — общая. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

Из равенства фигур следует равенство соответствующих углов: ∠MCN = ∠MHN. Но ∠MCN — это угол ACB, который по условию равен 90°. Значит, ∠MHN также равен 90°, что и означает перпендикулярность отрезков MH и NH.

Для успешного решения сложных планиметрических заданий необходимо тщательно фиксировать на чертеже все равные элементы: углы, полученные при пересечении прямых, углы в равнобедренных треугольниках, соответственные и накрест лежащие углы при параллельных. Поиск подобных треугольников часто открывает путь к нахождению нужных пропорций.

В одной задаче могут сочетаться несколько фактов: теорема о биссектрисе, признаки подобия, свойства медиан, а также теоремы Менелая и Чевы. Работа с площадями — ещё один действенный приём: если у двух треугольников общая высота, отношение их площадей совпадает с отношением оснований.

План действий

1. Вдумчиво изучить условие, подчеркнуть все данные.
2. Выполнить аккуратный чертёж с обозначением точек.
3. Выписать все обнаруженные равенства углов и отрезков.
4. Определить, какие теоремы и свойства можно задействовать.
5. Построить последовательную цепочку рассуждений.
6. Ввести параметры для упрощения вычислений.

Постепенное освоение свойств медиан и биссектрис — от элементарных случаев к комплексным комбинациям — помогает выработать прочные навыки для решения геометрических задач на экзамене. Постоянная тренировка с упражнениями разной трудности учит распознавать в сложном чертеже знакомые закономерности и комбинировать известные факты — это необходимо для достижения высокого результата на ЕГЭ.