Введение
Седьмое задание в ОГЭ по математике — это задачка на внимательность и знание одного простого факта: как числа располагаются на координатной прямой. Здесь не нужно ничего сложнее сложения и вычитания. Но есть одна хитрость: числа могут быть разными — целыми, дробными, десятичными или под корнем.
В этой статье разберём все типы задач, которые встречаются в реальных вариантах, и научимся решать их быстро и уверенно.
Что нужно знать заранее
Правило координатной линии
Представь, что это дорога. У неё есть центр — ноль. Всё, что слева — отрицательное (минус). Всё, что справа — положительное (плюс). Чем дальше от центра, тем больше число по модулю, но если оно слева, то оно «очень отрицательное».
Дроби: где их искать
- Если дробь правильная (числитель меньше знаменателя), она всегда прячется между 0 и 1. Например, $\frac{3}{4}$ — это 0,75, то есть почти у единицы.
- Если дробь неправильная (числитель больше), она перевалила за единицу. $\frac{5}{3}$ — это примерно 1,67, где-то между 1 и 2.
Корни: как понять, где они стоят
Допустим, нам нужно понять, где находится √50.
Спрашиваем себя: между какими целыми числами он зажат?
7² = 49,
8² = 64.
Значит, √50 где-то рядом с семёркой, чуть дальше. Такой метод называется «метод вилки» — берём два ближайших квадрата и смотрим, к какому числу наш корень ближе.
Знаки при работе с выражениями
- Сумма (x + y): если числа с разными знаками, знак суммы совпадает со знаком числа, у которого модуль больше.
- Разность (x – y) положительна, если x правее y (x > y).
- Произведение с квадратом: xy² — знак зависит только от x, потому что y² всегда ≥ 0. Аналогично для x²y — знак зависит только от y.
Разбираем конкретные задания
Задание 1. Три точки p, q, r
Условие
На прямой отметили числа p, q, r. Известно, что p — самое левое, r — самое правое, а q затесалось между ними. Вопрос: какая из разностей q – p, q – r, r – p точно меньше нуля?
Разность — это способ сравнить, кто правее. Если из левого вычесть правое, получится минус. И наоборот.
- q – p: q стоит правее p → разность положительная.
- q – r: q левее r → разность отрицательная.
- r – p: r правее p → разность положительная.
Ответ: q – r.
Задача 2. Две точки: y слева, x справа
Условие
На координатной прямой отмечены числа. Точка y расположена левее нуля, точка x — правее нуля. То есть y < 0 < x.
Варианты утверждений:
- x + y < 0;
- x – y > 0;
- xy² > 0;
- x²y < 0.
Какое из них неверно?
Проверим каждое утверждение на логику и знаки.
- Утверждение 2: x – y > 0
y — отрицательное, значит –y = положительное. Тогда x – y = x + |y|. Сумма двух положительных чисел всегда больше нуля. Это верно всегда. - Утверждение 3: xy² > 0
y² — квадрат числа, всегда положителен (если y ≠ 0). x — положителен. Положительное × положительное = положительное. Это верно всегда. - Утверждение 4: x²y < 0
x² — всегда положительно. Умножаем на отрицательный y. Положительное × отрицательное = отрицательное. Это верно всегда. - Утверждение 1: x + y < 0
Здесь сумма положительного и отрицательного. Её знак зависит от того, чей модуль больше:- Если |x| > |y|, то x + y > 0.
- Если |x| < |y|, то x + y < 0.
На рисунке обычно x и y подбирают так, чтобы x был чуть дальше от нуля, чем y. В таком случае сумма положительна, и утверждение x + y < 0 оказывается ложным.
Вывод: неверным является утверждение 1.
Ответ: 1.
Задание 3. Дробь и четыре точки
Условие
На отрезке от 5 до 6 и от 6 до 7 расставили точки A, B, C, D. Надо найти, где лежит $\frac{63}{11}$.
Переведём дробь в смешанную: 63 делим на 11, получаем 5 и 8 в остатке. Это 5 целых $\frac{8}{11}$. $\frac{8}{11}$ — это примерно 0,727. Значит, число стоит между 5 и 6, но ближе к шестёрке. Из точек А и В (обе между 5 и 6) правее та, что ближе к 6 — это точка В.
Совет: всегда переводи неправильную дробь в смешанную — так сразу видно, между какими целыми она застряла.
Ответ: B.
Задание 4. Десятичные дроби
Условие
Точки A, B, C, D соответствуют числам 0,0137; 0,103; 0,03; 0,021. Какой букве соответствует число 0,03?
Чтобы сравнить десятичные дроби, делаем у них одинаковое количество знаков:
- 0,0137
- 0,1030
- 0,0300
- 0,0210
Теперь видно: самая маленькая — 0,0137 (A), потом 0,0210 (B), потом 0,0300 (C), потом 0,1030 (D). Значит, 0,03 — это точка C.
Совет: если сомневаешься, дописывай нули справа — сразу всё становится на свои места.
Ответ: C.
Задание 5. Корень на оси
Условие
Точки A и B между 8 и 9, C и D между 9 и 10. Где √86?
86 зажато между 81 (9²) и 100 (10²). До 81 — 5 шагов, до 100 — 14. Значит, √86 ближе к 9. Между 9 и 10 две точки: C и D. Та, что ближе к 9 — это C.
Запоминалка: корень тянется к тому числу, чей квадрат ближе к подкоренному.
Ответ: C.
Задание 6. Точка и корни
Условие
Точка А стоит между 7 и 8, но ближе к семёрке. Даны √41, √48, √53, √63. Какой из соответствует точке А?
Смотрим квадраты: 7² = 49, 8² = 64. Значит, подходят только те корни, чьи числа лежат между 49 и 64. Это √53 (≈7,28) и √63 (≈7,94). Точка ближе к 7 — значит, число должно быть ближе к 49. 53 ближе к 49, чем 63. Выбираем √53.
Проверка: √53 ≈ 7,28 — как раз чуть больше семи.
Ответ: √53.
Задание 7. Дробь на глаз
Условие
Точка стоит где-то между 0 и 1, чуть правее середины. Какая это точка? Варианты: $\frac{10}{23}$, $\frac{11}{23}$, $\frac{13}{23}$, $\frac{14}{23}$.
Середина — 0,5. Переводим дроби:
- $\frac{10}{23}$ ≈ 0,435;
- $\frac{11}{23}$ ≈ 0,478;
- $\frac{13}{23}$ ≈ 0,565;
- $\frac{14}{23}$ ≈ 0,609.
Чуть правее середины — значит, около 0,55–0,6. Подходит $\frac{13}{23}$ (0,565).
Ответ: $\frac{13}{23}$.
Частые ошибки и как их обойти
1. Разность и кто правее
Ошибка: думают, что если a – b > 0, то b больше.
Как запомнить: представь, что вычитаешь: если результат с плюсом, значит, первый был дальше по прямой.
2. Квадраты съедают знак
Ошибка: забывают, что квадрат числа всегда неотрицательный.
Фишка: в выражении xy² знак определяет только x, потому что y² всегда плюс.
3. Корни на глаз
Ошибка: пытаются угадать, не проверяя по квадратам.
Совет: всегда ищи два ближайших целых квадрата — это даёт точную «вилку».
4. Дроби-крошки
Ошибка: путают 0,03 и 0,3.
Лайфхак: дописывай нули — 0,030 и 0,300 — сразу видно разницу.
Итог
Теперь ты знаешь:
- Как сравнивать числа на глаз и по расчётам.
- Как не путаться в знаках при разностях и суммах.
- Как точно определять место дроби или корня.
- Какие ошибки делают чаще всего и как их избежать.
С этими знаниями седьмое задание ОГЭ станет для тебя просто разминкой перед сложными номерами. Удачи на экзамене!
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
