Теория и практика: окружности в треугольниках

Описанная окружность

Описанная окружность — это единственная окружность, которая проходит через все вершины треугольника.

Ключевые характеристики:

1. Центр окружности

Точка пересечения трёх серединных перпендикуляров, проведённых к сторонам треугольника. Эта точка равноудалена от всех вершин фигуры.

2. Расчёт радиуса

Величина радиуса определяется несколькими способами:

• Через стороны и площадь: $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot S}$

• По теореме синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

3. Особый случай: прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике гипотенуза служит диаметром описанной окружности. Центр окружности располагается точно в середине гипотенузы. Это свойство даёт важное следствие: если угол треугольника опирается на диаметр, его величина равна 90°.

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая касается каждой стороны треугольника, находясь целиком внутри фигуры.

Ключевые характеристики:

1. Центр окружности

Точка пересечения трёх биссектрис углов треугольника. Эта точка обладает свойством равноудалённости от всех сторон фигуры.

2. Расчёт радиуса

Основная формула: $r = \frac{S}{p}$, где p — полупериметр: $p = \frac{a + b + c}{2}$.

3. Свойство касательных

Отрезки касательных, проведённых из одной вершины к точкам касания на сторонах, равны между собой. Если обозначить точки касания на сторонах AB, BC, CA как D, E, F соответственно, то: AD = AF, BD = BE, CE = CF.

Пример 1. Базовый расчёт

Условие: в треугольнике заданы стороны: 13, 14, 15 единиц. Определить радиусы вписанной и описанной окружностей.

Алгоритм решения:

Шаг 1. Вычисляем полупериметр:
p = (13 + 14 + 15) ÷ 2 = 21

Шаг 2. Находим площадь по формуле Герона:
$S = \sqrt{21 \cdot (21 − 13) \cdot (21 − 14) \cdot (21 − 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$

Шаг 3. Определяем радиус вписанной окружности:
r = 84 ÷ 21 = 4

Шаг 4. Находим радиус описанной окружности:
R = (13 × 14 × 15) ÷ (4 × 84) = 2730 ÷ 336 = 8,125

Итог: r = 4, R = 8,125

Пример 2. Геометрическое доказательство

Условие: в остроугольном треугольнике ABC опущены высоты BB₁ и CC₁. Требуется доказать, что точки B, C, B₁, C₁ принадлежат одной окружности.

Логика доказательства:

Рассмотрим четырёхугольник BC₁B₁C. По построению, углы BB₁C и BC₁C являются прямыми, поскольку соответствуют высотам треугольника.

В любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов составляет 180°. Проверим это условие:
∠BB₁C + ∠BC₁C = 90° + 90° = 180°

Выполнение данного условия подтверждает, что четырёхугольник BC₁B₁C можно вписать в окружность. Следовательно, все четыре точки лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

Пример 3. Касающаяся окружность

Условие: окружность касается стороны AC треугольника и делит стороны AB и BC на три равные части. Доказать, что треугольник является равнобедренным.

Логика доказательства:

Шаг 1. Введём обозначения:
Сторона AB разделена на отрезки: AK = KL = LB = x
Сторона BC разделена на отрезки: BN = NM = MC = y

Шаг 2. Обозначим точку касания на стороне AC как T. Согласно свойству касательных:
AT = AK = x
CT = CM = y

Шаг 3. Применим теорему о секущих, проведённых из точки B:
BL × BA = BM × BC

Шаг 4. Подставим значения:
(2x) × (3x) = (2y) × (3y)
6x² = 6y²
x² = y²

Поскольку длины отрезков положительны: x = y

Шаг 5. Из равенства x = y следует:
AB = 3x = 3y = BC

Таким образом, треугольник имеет две равные стороны, что соответствует определению равнобедренного треугольника.

Пример 4. Работа с биссектрисами

Условие: в прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) биссектрисы острых углов пересекают описанную окружность в точках A₁ и B₁. Доказать равенство ∠A₁BB₁ = 45°.

Логика доказательства:

Факт 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности.

Факт 2. Биссектриса AA₁ делит угол A пополам: ∠BAA₁ = ∠A₁AC

Факт 3. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:
$\angle A_1BC = \angle A_1AC = \frac{1}{2} \cdot \angle A$

Факт 4. Аналогично для биссектрисы BB₁:
$\angle B_1AC = \angle B_1BC = \frac{1}{2} \cdot \angle B$

Факт 5. Рассмотрим искомый угол:
$\angle A_1BB_1 = \angle A_1BC + \angle CBB_1 = \frac{1}{2} \cdot \angle A + \frac{1}{2} \cdot \angle B$

Факт 6. В прямоугольном треугольнике: ∠A + ∠B = 90°

Итог: $\angle A_1BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°$

Пример 5. Комплексная задача

Условие: в прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) биссектриса прямого угла пересекает описанную окружность в точке L. Прямая LN, где N — середина гипотенузы, пересекает катет BC в точке M.
а) Доказать: ∠BML = ∠BAC
б) Вычислить площадь треугольника при AB = 20, CM = 3√5

Решение части а):

Шаг 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза — диаметр, середина гипотенузы N — центр окружности.

Шаг 2. Биссектриса CL делит прямой угол пополам: ∠ACL = ∠BCL = 45°

Шаг 3. Дуга AL соответствует центральному углу 90° (так как вписанный угол ACL = 45°)

Шаг 4. Обозначим ∠BAC = α, тогда ∠ABC = 90° — α

Шаг 5. В треугольнике BMN:
∠NBM = ∠ABC = 90° — α
∠BNM = α (как угол между хордой BL и радиусом ON, где O — центр)
Следовательно, ∠BMN = 180° — (90° — α) — α = α

Таким образом, ∠BML = ∠BMN = α = ∠BAC

Решение части б):

Шаг 1. Треугольники ABC и MBN подобны (по двум углам).

Шаг 2. Составим пропорцию:
$\frac{MB}{AB} = \frac{NB}{CB}$
$\frac{MB}{20} = \frac{10}{(3\sqrt{5} + MB}$

Шаг 3. Решим уравнение:
MB × (3√5 + MB) = 200
MB² + 3√5 × MB — 200 = 0

Шаг 4. Найдём MB = 5√5 (отрицательный корень не имеет геометрического смысла)

Шаг 5. Вычислим BC = CM + MB = 3√5 + 5√5 = 8√5

Шаг 6. По теореме Пифагора:
$AC = \sqrt{AB^2 − BC^2} = \sqrt{400 − 320} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

Шаг 7. Площадь прямоугольного треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 8\sqrt{5} = 80$

Ответ: 80

1. Системный подход к решению
   • Начинай с тщательного построения чертежа.
   • Выписывай все данные условия.
   • Отмечай на чертеже равные углы и отрезки.
2. Стратегия выбора метода
   • Для задач на доказательство используй свойства вписанных углов.
   • Для расчётных задач применяй теоремы синусов и косинусов.
   • В задачах с касательными используй свойства отрезков.
3. Проверка результатов
   • Контролируй размерность полученных величин.
   • Проверяй выполнение условий теоремы.
   • Убедись в геометрической реализуемости ответа.
4. Типичные ошибки
   • Путаница между вписанными и центральными углами.
   • Неверное применение формул радиуса.
   • Ошибки в определении подобных треугольников.

Эта статья предоставляет полное представление о свойствах вписанных и описанных окружностей и методах решения связанных с ними задач. Регулярная практика с разнообразными примерами позволит уверенно решать задачи любой сложности на экзаменах.