Введение
Знаешь ли ты, что каждое третье тригонометрическое уравнение в задании 13 ЕГЭ (профиль) решается с помощью одного и того же приёма? Многие часто не видят его, пытаясь решать «в лоб», и теряют драгоценные баллы. Этот приём — замена переменной. Он превращает страшное тригонометрическое уравнение в простое алгебраическое, которое ты точно умеешь решать.
Теория «по кусочкам»: суть метода
Идея проста: мы находим в уравнении повторяющееся тригонометрическое выражение (например, sinx, cosx или что-то сложнее) и обозначаем его одной буквой t. После замены уравнение становится обычным (чаще всего — квадратным).
Шаг 1. Видим замену и ограничение на t
Посмотри на уравнение: 2sin²x — 5sinx + 2 = 0.
Обрати внимание: sinx повторяется. Это и есть наш кандидат на замену.
Обозначаем: пусть t = sinx.
Важно: сразу прописываем ограничение. Поскольку t = sinx, а синус может принимать значения только от -1 до 1, то t ∈ [-1; 1].
Это ключевое правило, которое не даст нам записать ложные корни.
Шаг 2. Делаем замену
Подставляем t вместо sinx в уравнение: 2t² — 5t + 2 = 0.
Получилось обычное квадратное уравнение!
Шаг 3. Решаем алгебраическое уравнение
2t² — 5t + 2 = 0.
Дискриминант: D = 25 — 16 = 9.
Корни: t₁ = 2, t₂ = 0.5.
Шаг 4. Возвращаемся к исходной переменной (самый важный этап!)
Проверяем корни на ограничение t ∈ [-1; 1].
- t₁ = 2 — не входит в отрезок [-1; 1]. Значит, sinx = 2 не имеет решений.
- t₂ = 0.5 — входит в отрезок. Значит, sinx = 0.5.
Решаем оставшееся простейшее уравнение. Для синуса общее решение лучше записывать двумя сериями (это нагляднее и помогает избежать путаницы):
sinx = 0.5 →
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Рубрика «Простая аналогия»
Представь, что тебе нужно разобрать и собрать сложный механизм (тригонометрическое уравнение). Метод замены — это как взять целый узел этого механизма (sinx) и временно заменить его на одну деталь-заглушку (t). Но у этой заглушки есть технические характеристики (ограничения: от -1 до 1). Ты спокойно чинишь основной механизм (решаешь квадратное уравнение), а потом ставишь узел обратно, проверяя, подходит ли он по характеристикам (проверяем t на ограничения). Если не подходит — выкидываем.
Пример из реального ЕГЭ — задание 13
а) Решите уравнение: 6 cos² x + 5√2 sin x + 2 = 0.
- Видим структуру и готовим замену. Есть и cos² x, и sin x. Используем основное тождество, чтобы привести всё к одной функции — синусу: cos² x = 1 — sin² x.
- Подставляем и приводим к квадратному уравнению.
6(1 — sin² x) + 5√2 sin x + 2 = 0
6 — 6 sin² x + 5√2 sin x + 2 = 0
-6 sin² x + 5√2 sin x + 8 = 0 (умножаем на -1 для удобства)
6 sin² x — 5√2 sin x — 8 = 0. - Вводим замену и решаем квадратное уравнение.
Пусть t = sin x, где t ∈ [-1; 1].
Уравнение: 6t² — 5√2 t — 8 = 0.
Дискриминант: D = (-5√2)² — 4*6*(-8) = 50 + 192 = 242 = (11√2)².
Корни:
$t_{1} = \frac{5\sqrt{2} + 11\sqrt{2}}{12} = \frac{16\sqrt{2}}{12} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$
$t_{2} = \frac{5\sqrt{2} — 11\sqrt{2}}{12} = \frac{-6\sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. - Проверяем ограничения на t.
- $t_{1} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \approx 1.89$. Это больше 1, не входит в [-1; 1]. Значит, sin x = 4√2/3 корней не имеет.
- $t_{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx − 0.71$. Входит в отрезок [-1; 1]. Работаем с ним.
- Возвращаемся к переменной x.
$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решение уравнения синуса записываем двумя сериями:
$x = -\frac{π}{4} + 2πn$, n ∈ Z или
$x = -\frac{3π}{4} + 2πk$, k ∈ Z.
(Это можно записать и как $x = \frac{5π}{4} + 2πn$, но $-\frac{3π}{4}$ и $-\frac{π}{4}$ — это стандартные значения из таблицы).
Ответ: $x = -\frac{π}{4} + 2πn$, n ∈ Z; $x = -\frac{3π}{4} + 2πk$, k ∈ Z.
Рубрика «Ловушки экзамена»
Ловушка 1. Не учтена ОДЗ замены
t = sinx, t = cosx → t ∈ [-1; 1].
t = tgx и t = ctgx — любые числа (t ∈ R).
Что будет: если у тебя получилось t = 1.5 при замене t = sinx, но ты запишешь x = arcsin(1.5) + …, это будет ошибка. Решений нет.
Ловушка 2. Потеря корней при обратной замене
Получилось $t^{2} = \frac{1}{4}$? Не забудь, что $t = ±\frac{1}{2}$. Два простейших уравнения, а не одно!
Ловушка 3. Неправильная обратная замена для сложного аргумента
Если t = cos(2x), и найдено t = 0, то:
$\cos(2x) = 0 \to 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \to x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.
Нельзя просто написать $x = \frac{π}{2}+ πn!$ Аргумент 2x «съедает» половину периода.
Как делать правильно: всегда явно записывай замену (t = …) и сразу ограничение на t, решай алгебраическое уравнение полностью, отсеивай корни, не подходящие под ограничение, и только потом делай полную обратную замену для каждого оставшегося корня.
Вопрос для самопроверки в моменте
Реши уравнение: 2cos²x + 3sinx = 0.
Подсказка: вспомни основное тригонометрическое тождество, чтобы всё привести к одной функции.
- Заменяем cos²x = 1 — sin²x (из тождества).
Уравнение: 2(1 — sin²x) + 3sinx = 0 → -2sin²x + 3sinx + 2 = 0. - Замена: t = sinx. Ограничение: t ∈ [-1; 1]. Уравнение: -2t² + 3t + 2 = 0 или 2t² — 3t — 2 = 0.
- Решаем: D = 9 + 16 = 25. Корни: $t_₁ = 2, t_₂ = -\frac{1}{2}$.
- Проверяем ограничение:
- $t_1 = 2$ — не входит в [-1; 1]. Отбрасываем.
- $t_₂ = -\frac{1}{2}$ — входит.
- Возвращаемся: $\sin x = -\frac{1}{2}$. Записываем двумя сериями:
$x = -\frac{π}{6} + 2πn$, n ∈ Z или $x = \frac{7π}{6} + 2πk$, k ∈ Z.
(Можно записать как $x = -\frac{π}{6} + 2πn$ и $x = -\frac{5π}{6} + 2πk$).
Ответ: $x = -\frac{π}{6} + 2πn$, n ∈ Z; $x = \frac{7π}{6} + 2πk$, k ∈ Z.
Итоговое саммари и чек-лист
3 главных тезиса
- Цель замены — превратить тригонометрическое уравнение в алгебраическое.
- Ключевой этап — обратная замена, где жизненно важно помнить область значений (t ∈ [-1; 1] для sin/cos) и аккуратно записывать ответ.
- Запись ответа для sin x = a и cos x = a двумя отдельными сериями часто надёжнее и нагляднее, чем одной формулой $с (-1)^n$.
Чек-лист «Что я теперь знаю и умею»
- Я могу увидеть в уравнении выражение для замены на t.
- Сразу записываю ограничение на t (например, t ∈ [-1; 1]).
- Проверяю корни алгебраического уравнения на соответствие этому ограничению.
- Правильно делаю обратную замену, записывая ответ для синуса/косинуса двумя сериями корней.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
