Введение
Пример 1. Сумма двух углов параллелограмма равна 208°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Оп, неожиданно? Именно так и возникают задачи на экзамене, никогда не знаешь, какой геометрический объект попадётся. С треугольником мы вроде разобрались (смотри статью), так что повышаем ставки и увеличиваем количество сторон и углов. Добро пожаловать в мир четырёхугольников!
Четырёхугольники: параллелограмм и трапеция
Сумма углов любого четырёхугольника равна 360 градусов.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого стороны попарно параллельны.
- Противоположные углы равны, противоположные стороны равны.
- Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов (что логично, ведь они односторонние при параллельных прямых и секущей).
Вернёмся к нашей задаче: благодаря свойству 3 мы понимаем, что «сумма двух углов параллелограмма равна 208°» — это не про соседние углы, а про противоположные, которые равны по свойству 1.
Пусть $\angle B + \angle D = 208 \Rightarrow \angle B = \angle D = 104$. Тогда по третьему свойству $\angle A + \angle B = 180 \Rightarrow \angle A = 180 − 104 = 76$. Так как $\angle A = \angle C$, то неважно, какой из углов мы бы нашли, его градусная мера и будет записываться в ответ.
Ответ: 76.
Если в четырёхугольнике есть параллельные стороны, то всегда нужно помнить о свойствах параллельных прямых и применять их.
Пример 2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 37° и 129°. Найти меньший угол параллелограмма. Ответ дать в градусах.
Рассмотрим AD||BC и секущую BD. Эти прямые параллельны из определения параллелограмма, а диагональ секущая, потому что про неё есть информация и это будет удобно.
∠CBD = BDA = 37 как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей, тогда в $\Delta ABD$ $\angle A + \angle B + \angle D = 180 \Rightarrow \angle A = 180 − 129 − 37 = 14.$.
И да, это меньший угол.
Можно ли было просто воспользоваться свойством 3? Можно, конечно. Но мы же повторяем все идеи решения. Так что пусть этот способ также будет у нас «в рукаве», однажды он может очень помочь.
Ответ: 14.
Пример 3. Периметр параллелограмма равен 126. Одна сторона параллелограмма на 27 больше другой. Найти большую сторону параллелограмма.
Периметр — сумма длин всех сторон, а в параллелограмме по свойству 2 противоположные стороны равны. Пусть меньшая сторона x, а вторая x + 27 .
Тогда 2(x + (x + 27)) = 126
2x + 27 = 63
2x = 36
x = 18
Тогда большая сторона x + 27 = 18 + 27 = 45.
Ответ: 45.
Надеюсь, это не будет шоком, но прямоугольник, ромб и квадрат — тоже параллелограммы. Просто обладающие дополнительными свойствами. Проработанные.
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые. И его отличительная особенность: диагонали равны.
То есть ко всем свойствам выше мы добавляем свойство равенства диагоналей.
Пример 4. Одна из сторон прямоугольника вдвое меньше его диагонали. Найти больший из углов, который образует диагональ со сторонами прямоугольника. Ответ выразить в градусах.
Пусть AD = x, AC = 2x. Тогда рассмотрим $\Delta ADC$ — прямоугольный, и в нём катет в два раза меньше гипотенузы ∠DCA = 30°.
По определению ∠DCB = 90° ∠ACB = 90° — 30° = 60°.
Ответ: 60.
Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Его особенность также связана с диагоналями: они перпендикулярны и являются биссектрисами углов.
Пример 5. Найти большую диагональ ромба, сторона которого равна √3, а острый угол равен 60°.
Большая из диагоналей будет лежать напротив тупого угла, в нашем случае это AC.
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, а ещё они перпендикулярны.
Рассмотрим $\Delta AOD$ — прямоугольный, а $\angle DAO = 60 : 2 = 30$ градусов, так как диагональ является биссектрисой угла.
В $\Delta AOD$ против угла в 30° лежит катет, который в два раза меньше гипотенузы, тогда $DO = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Далее можно найти второй катет через косинус или по теореме Пифагора.
$\cos 30 = \frac{AO}{AD} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AO}{\sqrt{3}} \Rightarrow AO = \frac{3}{2} \Rightarrow AC = 3$.
Ответ: 3.
Квадрат — объединение ромба и прямоугольника: параллелограмм, у которого все углы и стороны равны. Его ещё называют «правильным» четырёхугольником.
Он собрал все свойства диагоналей своих родственников-параллелограммов: они равны, точкой пересечения делятся пополам, являются биссектрисами углов.
Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие нет (боковые стороны).
Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной.
А если у неё есть угол 90 градусов — то прямоугольной.
Несколько важных фактов про трапеции:
- Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
- Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, соединяющий основания.
- Диагонали равнобедренной трапеции равны.
- Углы при основании тоже равны, причём как у верхнего, так и у нижнего.
- Если не знаешь, что делать, опускай высоту. А лучше сразу две. Тогда образуется прямоугольный треугольник, а две высоты отсекают на нижнем основании отрезок, равный верхнему основанию.
Пример 6. Основания трапеции ABCD равны 50 и 38. Найти больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Пусть MN — средняя линия трапеции, а точка К — точка пересечения диагонали BD и средней линии.
Рассмотрим $\Delta ABD$: по определению MK — средняя линия (соединяет середины сторон: M середина стороны по условию, а K по второму свойству), тогда $MK = \frac{1}{2} AB \Rightarrow MK = 25$.
Аналогично KN — средняя линия в $\Delta BCD, KN = 19$.
Ответ: 25.
Пример 7. В равнобедренной трапеции большее основание равно 83, боковая сторона равна 80, а тупой угол трапеции равен 120°. Найти меньшее основание.
Пусть AD = 83 и по рекомендации выше сразу опустим высоту BH. А лучше две, так что ещё и CK.
Рассмотрим $\Delta ABH$ — прямоугольный, а $\angle ABH = 120 − 90 = 30$ градусов, так как высота отсекла прямой $\angle HBC$.
Тогда $AH = \frac{1}{2} AB$ как катет, лежащий против угла в 30°, который в два раза меньше гипотенузы, тогда AH = 40.
$\Delta ABH = \Delta CDK \Rightarrow AH = DK = 40$.
Как мы знаем по пятому свойству выше, высоты отсекают отрезок, равный верхнему основанию, поэтому $BC = HK = 83 − 40 − 40 = 3$.
Ответ: 3.
Пример 8. Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 6, отсекает треугольник, периметр которого равен 90. Найти периметр трапеции.
Периметр $\Delta ABE = AB + BE + AE = 90$.
EBCD — параллелограмм (по определению), значит EB = DC и BC = ED, тогда $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = AB + BC + CD + (AE + ED) = (AB + BE + AE) + 2 \cdot BC = P_{ABE} + 2 \cdot BC = 90 + 12 = 102$.
Ответ: 102.
Для наглядности соберём всю эту информацию в схему — семейное древо семьи четырёхугольных:
Заключение
С радостью могу тебя поздравить, ты отлично справляешься! Уже столько всего знаешь и умеешь решать разные задачи с треугольниками и четырёхугольниками, но… всегда есть но. Это ещё не всё многообразие задач, которое может встретиться в первом номере профильного ЕГЭ. Поэтому вооружайся свежей головой, чашкой чая и вперёд, повторять площади и окружности!
Автор:
Литвиненко Мария, учитель математики АНОО «Областная гимназия им. Е. М. Примакова
