Банк заданий
ЕГЭ по информатике

Фрагмент звёздного неба спроецирован на плоскость с декартовой системой координат. Учёный решил провести кластеризацию полученных точек, являющихся изображениями звёзд, то есть разбить их множество на $N$ непересекающихся непустых подмножеств (кластеров), таких что точки каждого подмножества лежат внутри прямоугольника со сторонами длиной $H$ и $W$, причём эти прямоугольники между собой не пересекаются. Стороны прямоугольников не обязательно параллельны координатным осям. Гарантируется, что такое разбиение существует и единственно для заданных размеров прямоугольников.

Будем называть центром кластера точку этого кластера, сумма расстояний от которой до всех остальных точек кластера минимальна. Для каждого кластера гарантируется единственность его центра. Расстояние между двумя точками на плоскости$A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:

$d(A, B) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.

В файле А хранятся координаты точек двух кластеров, где $H = 3$, $W = 3$ для каждого кластера. В каждой строке записана информация о расположении на карте одной точки: сначала координата $x$, затем координата $y$. Известно, что количество точек не превышает 1000.

В файле B хранятся координаты точек трёх кластеров, где $H = 3$, $W = 3$ для каждого кластера. Известно, что количество точек не превышает 10000. Структура хранения информации в файле B аналогична файлу А.

Для каждого файла определите координаты центра каждого кластера, затем вычислите два числа: $P_x$ – среднее арифметическое абсцисс центров кластеров, и $P_y$ – среднее арифметическое ординат центров кластеров.

В ответе запишите четыре числа: в первой строке сначала целую часть произведения $P_x * 10 000$, затем целую часть произведения $P_y * 10 000$ для файла А, во второй строке – аналогичные данные для файла B.

Возможные данные одного из файлов проиллюстрированы графиком.

Внимание! График приведён в иллюстративных целях для произвольных значений, не имеющих отношения к заданию. Для выполнения задания используйте данные из прилагаемого файла.

Файл А к заданию: https://drive.google.com/file/d/1uvF94U4hIX1sH-AUin57V0hLjyXnv4ev/view?usp=drive_link

Файл B к заданию: https://drive.google.com/file/d/1tYYs-haM_DSTr7aKRcaxu4cqu2JFW1XR/view?usp=drive_link

На рисунке справа схема дорог $N$-ского района изображена в виде графа, в таблице содержатся сведения о длинах этих дорог (в километрах). Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. В таблице в левом столбце указаны номера пунктов, откуда совершается движение, в первой строке — куда.

Найдите сумму длин дорог из пункта Г в пункт Е и из пункта Д в З.

Логическая функция $F$ задается выражением $¬(x → (y ≡ z)) ∧ (w → y)$. Дан частично заполненный фрагмент, содержащий неповторяющиеся строки таблицы истинности функции $F$.

Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных $x, y, z, w$.

В ответе напишите буквы $x, y, z, w$ в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

В файле приведен фрагмент базы данных «Продукты» о поставках товаров в магазины районов города. База данных состоит из трех таблиц.

Таблица «Движение товаров» содержит записи о поставках товаров в магазины в течение первой декады июня 2021 г., а также информацию о проданных товарах. Поле Тип операции содержит значение Поступление или Продажа, а в соответствующее поле Количество упаковок внесена информация о том, сколько упаковок товара поступило в магазин или было продано в течение дня. Заголовок таблицы имеет следующий вид.

Таблица «Товар» содержит информацию об основных характеристиках каждого товара. Заголовок таблицы имеет следующий вид.

Таблица «Магазин» содержит информацию о местонахождении магазинов. Заголовок таблицы имеет следующий вид.

На рисунке приведена схема указанной базы данных.

Используя информацию из приведённой базы данных, определите, на сколько увеличилось количество упаковок печенья «Юбилейного», имеющихся в наличии в магазинах Заречного района, за период с 2 по 14 августа включительно.

В ответе запишите только число.

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1snl6Mc8L6NQSrCrDvaVxEs7QViiQniQq/edit?usp=drive_link&ouid=109918313430926500890&rtpof=true&sd=true

Для кодирования некоторой последовательности используют следующую кодировочную таблицу:

Укажите код минимальной длины для буквы Е, такой что будет соблюдаться условие Фано. Если таких кодов несколько, укажите код с минимальным числовым значением.

Примечание. Условие Фано выполняется, когда ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова.

Автомат получает на вход трёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам.

1. Умножаются первая и вторая, а также вторая и третья цифры исходного числа.

2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке неубывания (без разделителей).

Укажите наименьшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 615.

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует 6 команд: Поднять хвост, означающая переход к перемещению без рисования; Опустить хвост, означающая переход в режим рисования; Вперёд $\textbf n$ (где $n$  –  целое число), вызывающая передвижение Черепахи на $n$ единиц в том направлении, куда указывает её голова; Назад $\textbf n$(где $n$  –  целое число), вызывающая передвижение в противоположном голове направлении; Направо $\textbf m$ (где $m$  –  целое число), вызывающая изменение направления движения на $m$ градусов по часовой стрелке, Налево $\textbf m$ (где $m$  –  целое число), вызывающая изменение направления движения на $m$ градусов против часовой стрелки.

Запись Повтори k [Команда1 Команда2 … КомандаS] означает, что последовательность из $S$ команд повторится $k$ раз.

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:

Повтори 6 [Вперёд 10 Направо 90]

Вперёд 2 Направо 90

Повтори 2 [Вперёд 15 Направо 90 Вперёд 4 Направо 90].

Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри пересечения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями, включая точки на границах этого пересечения.

Для хранения произвольного растрового изображения размером $512\times768$ пикселей отведено не более 255 Кбайт памяти без учёта размера заголовка файла. Для кодирования цвета каждого пикселя используется одинаковое количество бит, коды пикселей записываются в файл один за другим без промежутков. Какое максимальное количество цветов можно использовать в изображении?

Вася составляет 5-буквенные слова из букв ЛЕМУР:

1. ЕЕЕЕЕ

2. ЕЕЕЕЛ

3. ЕЕЕЕМ

4. ЕЕЕЕР

5. ЕЕЕЕУ

6. ЕЕЕЛЕ

На каком месте будет стоять первое слово, начинающееся с Л?

Примечание. Слово - последовательность идущих подряд букв, не обязательно осмысленная.

Откройте файл электронной таблицы, содержащей в каждой строке 4 натуральных числа. Определите количество строк таблицы, содержащих числа, для которых выполнены оба условия:

- наибольшее из четырёх чисел меньше суммы оставшихся трёх чисел;

- среди четырёх чисел есть только одна пара равных чисел.

В ответе укажите количество подходящих четверок.

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1MnYGU3_vEg1J3igPJpfIbxdtw1D23-He/edit?usp=drive_link&ouid=109918313430926500890&rtpof=true&sd=true

При регистрации в компьютерной системе каждому объекту присваивается идентификатор, состоящий из 32 символов и содержащий только десятичные цифры и символы из 240-символьного специального алфавита. В базе данных для хранения каждого идентификатора отведено одинаковое и минимально возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование идентификаторов, все символы кодируют одинаковым и минимально возможным количеством бит. Определите объём памяти (в Кбайт), необходимый для хранения 3200 идентификаторов.

В ответе запишите только целое число - количество Кбайт.

Исполнитель МТ представляет собой читающую и записывающую головку, которая может передвигаться вдоль бесконечной горизонтальной ленты, разделённой на равные ячейки. В каждой ячейке находится ровно один символ из алфавита исполнителя (множество символов $A=\{a_{0},a_{1},…,a_{n–1}\}$), включая специальный пустой символ $a_{0}$.

Время работы исполнителя делится на дискретные такты (шаги). На каждом такте головка МТ находится в одном из множества допустимых состояний $Q=\{q_{0},q_{1},…,q_{n–1}\}$. В начальный момент времени головка находится в начальном состоянии $q_{0}$.

На каждом такте головка обозревает одну ячейку ленты, называемую текущей ячейкой. За один такт головка исполнителя может переместиться в ячейку справа или слева от текущей, не меняя находящийся в ней символ, или заменить символ в текущей ячейке без сдвига в соседнюю ячейку. После каждого такта головка переходит в новое состояние или остаётся в прежнем состоянии.

Программа работы исполнителя МТ задаётся в табличном виде.

В первой строке перечислены все возможные символы в текущей ячейке ленты, в первом столбце – возможные состояния головки. На пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца находится команда, которую выполняет МТ, когда головка обозревает $j$-й символ, находясь в $i$-м состоянии. Если пара «символ – состояние» невозможна, то клетка для команды остаётся пустой.

Каждая команда состоит из трёх элементов, разделённых запятыми: первый элемент – записываемый в текущую ячейку символ алфавита (может совпадать с тем, который там уже записан). Второй элемент – один из четырёх символов $«L»$, $«R»$, $«N»$, $«S»$. Символы $«L»$ и $«R»$ означают сдвиг в левую или правую ячейки соответственно, $«N»$ – отсутствие сдвига, $«S»$ – завершение работы исполнителя МТ после выполнения текущей команды. Сдвиг происходит после записи символа в текущую ячейку. Третий элемент – новое состояние головки после выполнения команды.

Например, команда $0, L, q_{3}$ выполняется следующим образом: в текущую ячейку записывается символ $«0»$, затем головка сдвигается в соседнюю слева ячейку и переходит в состояние $q_{3}$.

Выполните задание

На ленте в соседних ячейках записана последовательность из 1000 символов, включающая только нули и единицы. Ячейки справа и слева от последовательности заполнены пустыми символами $«λ»$. В начальный момент времени головка расположена в ближайшей ячейке справа от последовательности. 

Программа работы исполнителя: 

После выполнения программы единиц на ленте стало в девять раз больше, чем нулей. Сколько единиц содержалось в исходной последовательности?

В терминологии сетей ТСР/IP маской сети называют двоичное число, которое показывает, какая часть IP-адреса узла сети относится к адресу сети, а какая - к адресу узла в этой сети. Адрес сети получается в результате применения поразрядной конъюнкции к заданному адресу узла и его маске. Широковещательным адресом называется специализированный адрес, в котором на месте нулей в маске стоят единицы. Адрес сети и широковещательный адрес не могут быть использованы для адресации сетевых устройств.

Сеть задана IP-адресом 145.205.76.0 и маской сети 255.255.192.0.

Сколько в этой сети IP-адресов, для которых количество единиц в двоичной записи IP-адреса не кратно 2? В ответе укажите только число.

Значение арифметического выражения

$2 * 243^{16} − 81^{17} + 27^{18} − 21$

записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 2 содержится в этой записи?

На числовой прямой даны два отрезка: $Q=[32;60]$ и $P=[21;48]$. Какова наименьшая возможная длина интервала $A$, что логическое выражение

$(x \in Q) \to (((x \notin A) \land (x \in P)) \to (x \notin P))$

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$.

Алгоритм вычисления значения функции $F(n)$, где $n$ - натуральное число, задан следующими соотношениями:

$F(n) = 0$ при $n ≤ 1$;

$F(n) = F(n-1) + 3 * n^2$, если $n > 1$ и при этом $n$ нечётно;

 $F(n) = n/2 + F(n-1) + 2$, если $n > 1$ и при этом $n$ чётно;

Чему равно значение функции $F(49)$?

В ответе запишите только целое число.

В файле содержится последовательность целых чисел. Элементы последовательности могут принимать целые — значения от -1 до 100000 включительно. Определите количество пар последовательности, в которых остаток от деления на 111 хотя бы одного числа из пары равен минимальному числу последовательности. В ответе запишите количество найденных пар, затем максимальную из сумм элементов таких пар. В данной задаче под парой подразумевается два идущих подряд элемента последовательности.

Файл к заданию: https://drive.google.com/file/d/1zHi9jShUtueWcww0rOreHUwYJPZUZ-oo/view?usp=drive_link

Квадрат разлинован на $N * N$ клеток ($1 < N < 17$). Исполнитель Робот может перемещаться по клеткам, выполняя за одно перемещение одну из двух команд: вправо или вниз. По команде вправо Робот перемещается в соседнюю правую клетку, по команде вниз – в соседнюю нижнюю. Квадрат ограничен внешними стенами. Между соседними клетками квадрата также могут быть внутренние стены. Сквозь стену Робот пройти не может.

Перед каждым запуском Робота в каждой клетке квадрата лежит монета достоинством от 1 до 100. Посетив клетку, Робот забирает монету с собой; это также относится к начальной и конечной клеткам маршрута Робота.

Определите минимальную и максимальную денежные суммы, среди всех возможных итоговых сумм, которые может собрать Робот, пройдя из левой верхней клетки в правую нижнюю клетку маршрута.

В ответе укажите два числа - сначала минимальную сумму, затем максимальную.

Исходные данные представляют собой электронную таблицу размером $N * N$, каждая ячейка которой соответствует клетке квадрата. Внутренние и внешние стены обозначены утолщёнными линиями.

Пример входных данных

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1n4KZj9lapfdL6deNhqAEXzyEnLUPTtZA/edit?usp=drive_link&ouid=109918313430926500890&rtpof=true&sd=true

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 30 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 29$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, когда такая ситуация возможна.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 30 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 29$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Найдите два таких значения $S$, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

— Петя не может выиграть за один ход;

— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 30 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней; $1 ≤ S ≤ 29$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия:

— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

В файле содержится информация о совокупности $N$ вычислительных процессов, которые могут выполняться параллельно или последовательно. Приостановка выполнения процесса не допускается. Будем говорить, что процесс $B$ зависит от процесса $A$, если для выполнения процесса $B$ необходимы результаты выполнения процесса $A$. В этом случае процессы $A$ и $B$ могут выполняться только последовательно.

Информация о процессах представлена в файле в виде таблицы. В первом столбце таблицы указан идентификатор процесса (ID), во втором столбце таблицы – время его выполнения в миллисекундах, в третьем столбце перечислены с разделителем «;» ID процессов, от которых зависит данный процесс. Если процесс независимый, то в таблице указано значение 0.

Типовой пример организации данных в файле

Определите минимальное время, через которое завершится выполнение всей совокупности процессов, при условии, что все независимые друг от друга процессы могут выполняться параллельно.

Типовой пример имеет иллюстративный характер. Для выполнения задания используйте данные из прилагаемого файла.

Файл к заданию: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1aHk69JrX0R6Tt8_58Cl9UHM3_GPz-sn0/edit?usp=drive_link&ouid=109918313430926500890&rtpof=true&sd=true

Исполнитель преобразует число на экране. У исполнителя есть две команды, которым присвоены буквы:

 А. Отнять 2

 В. Отнять 5

Программа для исполнителя - это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 17 результатом является число 1?

Траектория вычислений программы - это последовательность результатов выполнения всех команд программы.

Например, для программы АВА при исходном числе 13 траектория состоит из чисел 11, 6, 4.

Текстовый файл состоит не более чем из $10^6$ символов $P$, $S$, $Q$ и $R$. Определите максимальную длину цепочки, которая не содержит $Q$ и не граничит с $Q$.

Для выполнения этого задания следует написать программу.

Файл к заданию: https://drive.google.com/file/d/1_7SByY5_yTW8WEcezEbCcLzcMsL7jxl7/view?usp=drive_link

Пусть $M$ - сумма максимального и минимального делителей числа, не считая единицы и самого числа. Если таких делителей у числа нет, то значение $M$ считается равным нулю.

Напишите программу, которая перебирает целые числа, большие 900000 , в порядке возрастания и ищет среди них такие, для которых значение $M$ оканчивается на 8. В ответе запишите в первом столбце таблицы первые 5 найденных чисел в порядке возрастания, а во втором столбце - соответствующие им значения $M$.

Например, для числа 14 $M=7-2=5$.

Количество строк в таблице для ответа избыточно.