Банк заданий
ОГЭ по математике Задание №25 Геометрическая задача повышенной сложности, Комбинаци окружностей и многоугольников

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $8$ и $30$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$.

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $18$ и $40$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон в точках $M$, $K$ и $P$. Найдите углы треугольника $ABC$, если углы треугольника $MKP$ равны $39^\circ$, $78^\circ$ и $63^\circ$.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон в точках $M$, $K$ и $P$. Найдите углы треугольника $ABC$, если углы треугольника $MKP$ равны $48^\circ$, $68^\circ$ и $64^\circ$.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон в точках $M$, $K$ и $P$. Найдите углы треугольника $ABC$, если углы треугольника $MKP$ равны $62^\circ$, $57^\circ$ и $61^\circ$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Длина стороны $AC$ равна $12$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $ABC$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Длина стороны $AC$ равна $4$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $ABC$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Длина стороны $AC$ равна $9$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $ABC$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Длина стороны $AC$ равна $11$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $ABC$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной окружности треугольника $ABC$ равен $8$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной окружности треугольника $ABC$ равен $12$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной окружности треугольника $ABC$ равен $20$.

Медиана $BM$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $BC$ в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной окружности треугольника $ABC$ равен $28$.

Из вершины прямого угла $C$ треугольника $ABC$ проведена высота $CP$. Радиус окружности, вписанной в треугольник $BCP$, равен $27$, тангенс угла $BAC$ равен $\dfrac{9}{40}$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Из вершины прямого угла $C$ треугольника $ABC$ проведена высота $CP$. Радиус окружности, вписанной в треугольник $BCP$, равен $45$, тангенс угла $BAC$ равен $\dfrac{3}{4}$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Из вершины прямого угла $C$ треугольника $ABC$ проведена высота $CP$. Радиус окружности, вписанной в треугольник $BCP$, равен $8$, тангенс угла $BAC$ равен $\dfrac{4}{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ так, что окружность, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, касается прямой $BC$. Найдите $AD$, если $AC = 40$, $BC = 45$ и $CD = 24$.

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ так, что окружность, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, касается прямой $BC$. Найдите $AD$, если $AC = 15$, $BC = 40$ и $CD =12$.

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ так, что окружность, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, касается прямой $BC$. Найдите $AD$, если $AC = 38$, $BC = 34$ и $CD = 19$.

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ так, что окружность, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, касается прямой $BC$. Найдите $AD$, если $AC = 48$, $BC = 28$ и $CD = 24$.

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM = 10$ и $MB = 18$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM = 17$ и $MB = 19$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM = 12$ и $MB = 18$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Биссектриса $CM$ треугольника $ABC$ делит сторону $AB$ на отрезки $AM = 11$ и $MB = 16$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$, проходящая через точку $C$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Найдите $CD$.

Основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ равно $12$. Окружность радиуса $9$ с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания $AC$ в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.